大学数学、2次無理関数の不定積分です。 ∫(x²+1)/√(x²-2x+2)dx t=√(x²-2x

大学数学、2次無理関数の不定積分です。
∫(x²+1)/√(x²-2x+2)dx
t=√(x²-2x+2)と置換して積分できる形じゃないと思ったので、t=x+√(x²-2x+2)と置換して積分したのですが、うまくいきませんでした。答えは1/2(x+3)√(x²-2x+2)+3/2log｛x-1+√(x²-2x+2)｝だそうです。2通りの置換をやっても上手くいかないならどうやればいいですか？まあ僕の計算が間違っているだけの可能性も少々ありますが

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/18 20:01

それでいいんじゃない？

t = √(x²-2x+2) と置くと、
x = 1 ± √(ｔ²-1) より

x²+1 = 1 + ｔ² ± 2√(ｔ²-1),
(x²+1)/√(x²-2x+2) = { 1 + ｔ² ± 2√(ｔ²-1) }/t
と

dx = { ± t/√(ｔ²-1) }dt
から

∫(x²+1)/√(x²-2x+2)dx
= ∫{ 1 + ｔ² ± 2√(ｔ²-1) }/{ ± 1/√(ｔ²-1) }dt
= ± { ∫√(ｔ²-1)dt + 2∫dt/√(ｔ²-1) } + ∫2dt
となる。

∫√(ｔ²-1)dt と ∫dt/√(ｔ²-1) の計算には、
小技が必要かな。よくあるパターンで、
t = tanθ の置換積分でいいはず。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/18 18:38

手汗い

でなくて
訂正
です

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/18 18:37

手汗い

被積分関数
＝[{√(x²-2x+2)}²-2x-1]/√(x²-2x+2)
＝√(x²-2x+2)-(2x+1)/√(x²-2x+2)
としたほうがうまそうです
第一項の積分は例えば
t＝x-1とおいて
∫√(x²-2x+2)
＝∫√(t²+1)dt
＝(1/2)t√(t²+1)+(1/2)∫dt/√(t²+1)
∫dt/√(t²+1)の積分は
√t²+1＝u-t
と置換する事で解決できるかと思います

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/18 17:56

詳しくは見てませんが

x-1＝tanθと置換すれば
行けそうだと思います