極方程式 r=√6/(2+cosΘ√6）の表す曲線を、直交座標(x,y)に関する方程式で表し, その

極方程式 r=√6/(2+cosΘ√6）の表す曲線を、直交座標(x,y)に関する方程式で表し, その概形を図示せよ
という問題で下のように考えて最後双曲線の1>=xのところを図示したのですが、模範解答では1>=xという条件がありませんでした。僕のこの解答間違いを指摘してくれると嬉しいです
また余力があればただしい同地変形をおしえていただけると嬉しいです

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/27 22:28

>①の式の1+ecosΘの部分+であってますか？

はい。天文学等でお馴染みの式の形で
+でも -でも双曲線の式になります。
+では双曲線の左の焦点が原点になります。
質問の式は+になってますよね。

両方描いて見ると理解が深まると思いますよ。

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2024/07/30 14:53

No.7訂正、

そこで同値という言葉を使いましたがじつは表題の極方程式
とそれから出てくる双曲線の式とは同値関係にない、
なぜなら、2乗した式からはもう1つの極方程式
ｒ＝－√6/(2－√6cosθ)　･･･①　が出てくるからです。
この①も表題の極方程式と同じようにθが0から2πまで変わる間に
最初に出した双曲線のすべての点を通る
という性質をもっています。
もともとの問題が与えられた極方程式のえがく図形は何かということだから
式変形の過程で同値性にこだわるのは意味がないと言えます。

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2024/07/29 15:02

あなたの出した双曲線の式はそれでいいんだけど、

それと、もともとの極方程式との同値関係はつぎのようになる：
極方程式ではcosθ＝-2/√6で分母が0になるからこの角θでわけて
極方程式のグラフがどうなるか考える必要があります。
cosθ＜0だからθは第2、第3象限の角になり第2象限の方をθ2、第3
のほうをθ3とすれば
π/2＜θ2＜π、π＜θ3＜3/2π
そして出した双曲線の方程式のグラフの存在範囲は
x≦3-√6、3＋√6≦x　これを踏まえると
0≦θ＜θ2でr＞0だから極方程式のグラフは左の双曲線のｙ≧0の部分
に対応する、
θ2＜θ＜θ3でr＜0だから右の双曲線の全部に対応する、
θ3＜θ≦2πでr＞0だから左の双曲線のｙ≦0の部分に対応する、
こういう対応関係でθが0から2πまでで動く時
(r、θ)は出てきた双曲線のすべての点をなぞることになります。
同値関係の把握はグラフを見てせよ、ということです。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/27 17:05

#1訂正(θ=πのとき r=-√6/2<0)は間違い(θ=πのとき r=-3-√6<0)でした

r=√6/(2+cosθ√6)

cosθ=-2/√6 のとき分母　2+cosθ√6=0 となるから
cosθ≠-2/√6

-2/√6<cosθ　のとき　r>0
双曲線　(x-3)^2/6-y^2/3=1　のx≦3-√6 の部分

cosθ<-2/√6　のとき　r<0
(θ=πのとき r=-3-√6<0)
双曲線　(x-3)^2/6-y^2/3=1　のx≧3+√6　の部分

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/27 13:28

与式は、分母を払って r (1 + (√6/2)cosθ） = √6/2 とも書けるから、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13875587.html の係数が変わっただけですね。
1 ≧ x を追加してるとこを見ると、前回気になっていた
同値性の問題を解決したようです。よきかな、よきかな。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/27 08:00

補足

r=L/(1+εcosθ) ①
r=-L/(1-εcosθ) ②
はr<0を許すと
①でθ=αの点と②でθ=α+πの点が同じ点を表すことに
注意。つまり①と②は同じ曲線を表している。
このことから、①と②から変形を合わせると
r=±(L-εx) ⇔r^2=(L-εx)^2
と出来るので
r^2=(L-εx)^2は①と同値として扱って良いのです。

この回答へのお礼

①の式の1+ecosΘの部分+であってますか？

お礼日時：2024/07/27 15:48

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/27 07:21

天下りですが、極方程式

r=L/(1+εcosθ)
は円(ε=0)、楕円(0<ε<1)、放物線(ε=1)、双曲線(1<ε)
になります。
これは
x^2+y^2=L^2-2εLx+ε^2・x^2
に変形できます。

r=(√(6)/2)/(1+(√(6)/2)cosθ)
ですから
ε=√(6)/2>1なので双曲線。L=√(6)/2
双曲線は上下左右に無限に拡がるので
x≦1は間違い。
極方程式にr≧0という決まりは無いことに注意。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/27 05:34

r=√6/(2+cosθ√6)

cosθ=-2/√6 のとき分母　2+cosθ√6=0 となるから
cosθ≠-2/√6

-2/√6<cosθ　のとき　r>0

cosθ<-2/√6　のとき　r<0
(θ=πのとき r=-√6/2<0)