気体分子の運動と圧力の説明の誤り

気体分子の運動と圧力についての回答にあるサイトの説明が引用されていた。

https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/high- …

この説明では、「1つの分子が単位時間当たりに壁 S に及ぼす力積（のx 成分）は」
　mvx²/l・・・・・①
としている。これは壁の往復分の距離2lに要する時間から、計算しているが、指摘したように誤りであり、lで計算し
　2mvx²/l
としなければならない。

そして、壁が受ける力として
　F=Σ[i=1→N] m(vxi)²/l=Nm<vx²>/l ・・・・② (<vx²>は２乗平均)
と導いている。

誤り①に誤り②を重ねて、結論は合っちゃった! という物理ではよくある話だった。①の誤りは指摘したので、②の誤りを説明してください。


調べたら、この説明は予備校レベルで、かなりスタンダードになっているらしい(一般書籍は捨ててしまったので手元に無い)。
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/therm/kitai/b …

https://www.youtube.com/watch?v=45z8t4qaRdI
https://www1.doshisha.ac.jp/~bukka/lecture/stati …
https://www.youtube.com/watch?v=2LkRA_c8Ffs
https://honda.sci.yokohama-cu.ac.jp/%E5%8C%96%E5 …
・・・・

ただ、このような説明自体が杜撰なので、あまり真剣に向き合わない方がよい。

No.3 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2024/10/21 00:43

>でも、求めるのは壁の受ける運動量変化ですから、Aだけ考えても仕方ないです。

#2に↓のように書いたように他の分子の寄与は②で考えます。
>そして①を箱の中の個々の分子について適用&合計し、気体全体として壁に与える力について考えるのが②です。



>指定した時間内でvxをもって壁にぶつかる粒子を数える必要アリと思います。

壁が受ける力
=Σ_i (i番目の分子から受ける力) ←②の考え方
=Σ_v (速度がvである分子の数) ×(速度vの分子から受ける力) ←③貴方の考え方(に近いと思われるもの)

Σ_iは全ての分子iについての和
Σ_vは全ての速度vについての和(本来は積分)

である事はわかりますか？
③では「速度がvである分子の数」の値が必要になるというだけで、②では使いません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解しました。私が誤っていました。

お礼日時：2024/10/21 18:51

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/21 09:56

横から失礼します。

＞　mvx²/l・・・・・①

は、１個の分子が往復する間に、一方の壁に与える力積、

＞　2mvx²/l

は、１個の分子が往復する間に、対面する２つの壁に与える力積の和

かと思います。

ここでは、１個の分子が「一方の壁」に与える力を求めているので①でよいと思います。

圧力は「壁のどの位置」をとっても同じなので、「一方の壁」も「対面の壁」も等しい値になりますが、両者を足し合わせることに意味はありません。

①の「分子 N 個の２乗平均」で、一方の壁に働く力は
　F = Nm<vx²>/l ・・・・② (<vx²>は２乗平均)
になり、「対面の壁」に働く力も
　F1 = Nm<vx²>/l
になって、両方の力（の絶対値）の和は
　F2 = F + F1 = 2Nm<vx²>/l
になって、「①を修正した力積：2mvx²/l」の「分子N個分」に一致します。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/10/21 18:52

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2024/10/20 21:25

特定の分子Aに注目し、分子Aが壁に壁に与える力について考えているのが①です。

そして①を箱の中の個々の分子について適用&合計し、気体全体として壁に与える力について考えるのが②です。

この考え方をするという前提で良いのなら、①の段階で「対称性から -vxの粒子」(分子Bとします)を持ち出す意味がないでしょう。
分子Bを考えた時に分子Aが往復する間に「2個ぶつかる」のだとしても、①では分子Aにのみ着目した議論なので「分子Aが1回ぶつかる」という話にしかなりませんので。

この回答へのお礼

でも、求めるのは壁の受ける運動量変化ですから、Aだけ考えても仕方ないです。指定した時間内でvxをもって壁にぶつかる粒子を数える必要アリと思います。

お礼日時：2024/10/20 21:35

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2024/10/20 18:40

どこでどう指摘したのか知りませんが、①と②に誤りがあるという指摘の方が間違ってるかと。

例えば長さLの1次元の箱の中を速さvで往復運動する分子があった時、この分子が一の壁)に衝突する時間の間隔は往復するのにかかる時間の事なので2L/vになります。

L/vとお考えという事は(一方の壁ではなく)いずれかの壁に衝突する時間の間隔を考えているという事なのでしょうか？そのような量を考えても、きちんと考えれば正しく圧力(壁が受ける力)を出せるのかもしれませんが、単に「異なるアプローチでも計算できる」という話でしかなく、①と②が誤りと言う話には繋がらないでしょう,

この回答へのお礼

失礼しました。下記のQAでした。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13940220.html

それは、「vxを持つ粒子はLの何処にあっても必ずL/vx時間には壁にぶつかり、2L/vx時間を取れば、対称性から -vxの粒子があり、反対面で反射して +vxの粒子となって、壁にぶつかり、合計２個ぶつかる」というものです。

お礼日時：2024/10/20 18:52