高校数学についてです。 √(1-x^2)を積分するときに偶関数のように積分されていました。ルートがつ

高校数学についてです。
√(1-x^2)を積分するときに偶関数のように積分されていました。ルートがついても定数は偶関数になるのはわかるのですが、ルートがついたとき、n乗はどうなるのでしょうか？ルートがついてもつかなくても考え方は同じなのでしょうか？
√(1-x^2)のように複数項にルートがついている時と、√x^5のように項が一つの時と教えてほしいです。

No.5 回答者： cage64 回答日時： 2024/10/30 12:48

以下の2点に注意しましょう。

√がついた関数の定義域は、ルートの中が0以上となるところだけ。
偶関数や奇関数の定義は、定義域内のすべてのxについてf(x)=f(-x)やf(x)=-f(-x)が成り立つこと。

これを踏まえて考えます。

f(x)=√(1-x^2)
の定義域は 1-x^2≧0 ⇔ (x-1)(x+1)≦0 ⇔-1≦x≦1
この範囲において、
(1)f(x)が定義できているならf(-x)も定義できている
(2) f(x)=f(-x) が成立している
の2点が成り立つからf(x)は偶関数。

g(x)=√x^5
の定義域はx^5≧0 つまり、x≧0
この場合、
x>0 について、g(x)は定義できるがg(-x)は定義できない
(x<0について、g(-x)は定義できるがg(x)は定義できない)
ので、g(x)が偶関数とか奇関数とかはいえない。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/26 10:46

f(x)=√(1-x^2)

とすると

f(-x)=√(1-(-x)^2)=√(1-x^2)=f(x) だからf(x)=√(1-x^2)は偶関数なのです

f(x)=x^n
とすると
nが偶数のときf(-x)=(-x)^n=x^n=f(x)だからf(x)=x^nは偶関数
nが奇数のときf(-x)=(-x)^n=-x^n=-f(x)だからf(x)=x^nは奇関数

g(x)=√x^5
とすると
g(-x)=√(-x)^5≠√x^5
だから
g(x)=√x^5 は偶関数ではありません

∫√(1-x^2)dx

x=sint
dx=costdt

∫√(1-x^2)dx
=∫|cost|costdt
=∫(cost)^2 dt
=∫{{1+cos(2t)}/2}dt
=t/2+sin(2t)/4+c
=t/2+sintcost/2+c
=arcsin(x)/2+x√(1-x^2)/2+c

∫(√x^5)dx
=∫x^(5/2)dx
=(2/7)x^(7/2)+c

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/25 21:23

f(x) が偶関数； f(-x) = f(x) なら、

g(f(x)) も偶関数； g(f(-x)) = g(f(x)) ですよ。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/10/25 20:27

実数xに関する関数 f(x)が偶関数だというのは、f(x) = f(-x) ということ。

n乗とかルートとか、全く関係ない。例えば、cos(x)も、sin(x)/xも偶関数です。

だから「偶関数のように」も何も、√(1-x^2)は正真正銘の偶関数。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/25 20:14

ルートも累乗の一種ですからまずは「その線」から攻めてみたらいいと思います。

質問文にある√x^5は指数表記に直すと

x^(5/2)

ですから

√(1-x^2)

も同様に

(1-x^2)^(1/2)

と考える所から始めてみるとか。ただこれでうまく行かなかったら、覚えておかないと思い付かないような置換をしないとダメだったかもしれませんが。