数学的帰納法の意味・意義について

とあるQAを見て数学的帰納法の意味・意義について全く理解していないことが分かった。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13949275.html

任意のkについて、命題P(k)が成り立つなら、命題P(k+1)はおろか、すべての自然数について命題P(n)が成り立つのは自明ではないか?

勿論、この主張は間違っているはずである。この詭弁を説明してください。

なお、数学的帰納法については
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6 …

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/30 23:27

たぶん、あなはた句読点の付け方を間違えている。

数学的帰納法は、
『任意のkについて、命題P(k)が成り立つ』なら『命題P(k+1)がなりたつ』ではなく、

『任意のkについて「命題P(k)が成り立つなら命題P(k+1)がなりたつ」』
かつ『命題P(1)が成り立つ』なら『任意のｎについて命題P(ｎ)が成り立つ』だよ。

「任意のkについて」が文章のどこに掛かるか、よく考えてみようね。

この回答へのお礼

論理学は詳しくないのですが、その通りと思います。
真と言っているのは　P(k)ではなく　「P(k) → P(k+1)」という式と思います。

お礼日時：2024/10/31 05:59

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/30 23:00

お礼コメントの問いに対してですが「すべてのkでP(k)が成り立つならば」と言うのはあくまでも仮定に過ぎず、「すべてのkでP(k)が成り立つ」と言う事が分かったわけではありません。

数学では「正しいかどうかは分からない命題Pが正しい事を仮定するとこう言った命題が成り立つ事が分かる」と言った論法を用いる場合があります。

この回答へのお礼

少し表現が異なるような気がします。

お礼日時：2024/10/31 06:00

No.3 回答者： ばけつプリン 回答日時： 2024/10/30 22:15

もしかして任意の意味を間違えているのではないでしょうか？

任意とはどれをとってもという意味ではありません。
任意のkとは好きに選んだ１つ、という意味です。

この回答へのお礼

いいえ、違うと思います。

お礼日時：2024/10/31 05:50

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/30 21:56

「P(k)の時に成り立つならP(k+1)の時にも成り立つ」と言う事を示したとしても「P(k)の時に成り立つ」と言う事は示されていません。

これが成り立たなければ「すべての自然数で成り立つ」と言う主張は間違っている事になります。なので例えば「P(1)の時に成り立つ」と言った事を別に証明する必要があります。

この回答へのお礼

すべてのkでP(k)が成り立つならばと言っているので、その時点ですべてのP(n)が成り立つのでは、というのですが?

お礼日時：2024/10/30 22:05

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/10/30 21:28

「任意のkについて、命題P(k)が成り立つなら、命題P(k+1)はおろか、すべての自然数について命題P(n)が成り立つのは自明ではないか?」のところ,

日本語として
どう解釈すればいいの?

この回答へのお礼

そのままんまですが。申し訳ないが私の日本語ではこれ以上のことはできません・・・すみません。

お礼日時：2024/10/30 21:34