高校数学Ⅲの問題です。よろしくお願いします。

座標平面において線分L:y=x（0≦x≦1）、曲線C:y=x^2-x+1（0≦x≦1）およびy軸で囲まれた図形をDとする。以下の問いに答えよ。
（1） C上の点P(t,t^2-t＋1）からLに下ろした垂線とLの交点をQとする。線分OQの長さuをtで表せ。ただし0は原点とする。
（2）（1）のP,Qについて線分PQの長さをtを用いて表せ。
（3） 図形Dを直線y=xのまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

(1)（2）までは解けたのですが、(3)が分かりません。Dをy=-x+1で二つに分けて左側の図形の体積（円錐）を求めるまではできたのですが、右側をどうやって求めるのか分かりません。

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/01 14:20

(左側の体積)=π∫[0～1/√2](u^2)du=π[u^3/3][0～1/√2]=π√2/12

(右側)

0≦t≦1
u=(1+t^2)/√2
1/√2≦u≦√2
du/dt=t√2

|PQ|=(1-t)^2/√2
|PQ|^2=(1-t)^4/2

(右側の体積)
=π∫[1/√2～√2](|PQ|^2)du
=π∫[0～1]{t(1-t)^4/√2}dt
=π∫[0～1]{(t-4t^2+6t^3-4t^4+t^5)/√2}dt
=π[t^2/2-4t^3/3+3t^4/2-4t^5/5+t^6/6)][0～1]/√2
=π[1/2-4/3+3/2-4/5+1/6]/√2
=π[(30-80+90-48+10)/60]/√2
=(π√2)/60

(体積)=π√2/10

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/01 14:23

体積を求める基本は、立体を平行な平面群で切断して

断面積を積分することです。
回転体の場合は、回転軸に垂直な平面群を使うのが
やりやすい。

今回の問題は、回転軸が y=x, z=0 ですから、
この直線の方向ベクトル (1,1,0) に垂直な平面群
での断面を考えます。平面の間隔が dt になるように
切断面の方程式を、単位法線ベクトルを使って
(x,y,z)・(1,1,0)/√2 = t と置くと、連立方程式を解いて、
平面と曲線Cの交点は x = √( -1+(√2)t ), y = -x + (√2)t.
立体の右半分は、x = 0 となる t = 1/√2 から
x = 1 となる t = √2 までと判ります。

(x,y,z)・(1,1,0)/√2 = t が軸 y = x と交わる場所は
x = y = t/√2 ですから、立体の断面となる円の半径は
r = √{ ( √(-1+(√2)t) - t/√2 )^2 + ( -√(-1+(√2)t)+(√2)t - t/√2 )^2 }.
この r について、∫[1/√2, √2] πr^2 dt を計算すれば
右半分の体積になりますね。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/11/01 12:14

補足

ちなみに置換を行うと
t＝0〜1になりますね
du＝√2tdt

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/11/01 12:01

訂正

u＝(t²+1)/√2
ですかね
これを元に、tの範囲と、duを求めてください

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/11/01 11:29

円錐部分とそれ以外の右側部分とにわけて考えるなら

Ｌをx軸やy軸に代わる第三の軸ｕ軸だとみて
Qが位置uにある時Pをu軸回りに回転して出来る円の面積がπ・PQ²
これを底面として、微小な高さduの円柱を考えると、その体積(微小体積)が
(dV＝)π・PQ²du
これが、回転体の右側部分を断面がu軸に垂直になるように、細かくスライスしていったときの、スライス1枚分の体積であり、
x＝0.5〜x＝1…①までに存在するこのスライスの体積の和が右側部分の回転体の体積であるので

右側回転体積
＝∫dV
＝∫π・PQ²du…②
です
そして積分区間は①に対応して
u＝0.5√2〜√2です

②は置換積分となるわけですが
(1)の結果より
u＝√2tと言う置換ですから
・積分区間をuからtになおす
(t＝0.5〜1)
・du＝√2dt
とする事になります
後は定積分を求めて完了です

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/01 10:52

No.1 です。

「お礼」を見ました。
失礼、#1 は「y 軸の周りに回転する」ことを前提に書いていましたね。

でも「直線y=xのまわりに」でも、「一周 360° = 2π 回転する」ことは同じです。

「直線L：y=xのまわりに」回転するのであれば、y 軸あるいは曲線 C から L に垂線を下ろしましょう。
(a) t：0～1/2 のときに、y 軸からの垂線が
(b) t：1/2～1 のときに、曲線 C からの垂線が
線分 L に下ろせることが分かります。

t の代わりに「原点から、垂線との交点までの長さ T」で表わせば、
　T = (√2)t
であり
(a) T：0～(√2)/2 のときに、y 軸からの垂線が
(b) T：(√2)/2～1 のときに、曲線 C からの垂線が
線分 L に下ろせることになります。

そして、垂線の長さは
(a) の範囲では T
(b) の範囲では |PQ|/√2
で表わせることが分かれば、同じように積分計算ができると思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/01 09:58

「積分」を習っているのですよね？

中学生や高１のように「立体図形の体積」で解くのではなく、「積分」で解きましょう。

(2) で |PQ| の長さを求めているので
　|PQ| × Δt
によって「PQ と微小幅 Δt が作る短冊」の面積が求まります。
これに |PQ| が作る円周 = 2π|PQ| をかければ「高さ |PQ|、半径 t～t+Δt の円管」の体積になります。

この体積を t：0～1 で足し合わせると（Δt → 0 にすれば積分になる）求める体積になります。

答は自分で求めてみてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
積分範囲が分からなくて…右側の図形でPが動く範囲がt=0〜1なので最初はそれを積分範囲にして計算したのですが答えが合わなくて…軸が傾いているからこの方法で解けないのは分かっているのですが…

お礼日時：2024/11/01 10:12