三角関数

この問題解説していただきたいです。、

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/07 09:54

x=sinθ

cos(2θ)=1-2(sinθ)^2=1-2x^2
g(x)
=(1/2)(1-2x^2)+2kx+k/3-7/6
=1/2-x^2+2kx+k/3-7/6
=-x^2+2kx+(k-2)/3
=-(x-k)^2+k^2+(k-2)/3
=0

(x-k)^2=k^2+(k-2)/3
x=k±√{k^2+(k-2)/3}

0<θ<π
0<sinθ≦1

(0<k+√{k^2+(k-2)/3}<1)&(k-√{k^2+(k-2)/3}≦0)と仮定すると

0≦√{k^2+(k-2)/3}<1-k
k<1

-k<√{k^2+(k-2)/3}
k≦√{k^2+(k-2)/3}
|k|≦√{k^2+(k-2)/3}
k^2≦k^2+(k-2)/3
0≦k-2
2≦k
となってk<1に矛盾するから不適

(1<k+√{k^2+(k-2)/3})&(0<k-√{k^2+(k-2)/3}<1)のとき

√{k^2+(k-2)/3}<k
k^2+(k-2)/3<k^2
k-2<0
k<2

1-k<√{k^2+(k-2)/3}
k-1<√{k^2+(k-2)/3}
|k-1|<√{k^2+(k-2)/3}
(k-1)^2<k^2+(k-2)/3
k^2-2k+1<k^2+(k-2)/3
-2k+1<(k-2)/3
-6k+3<k-2
5<7k
∴
5/7<k<2…(1)

(k^2+(k-2)/3=0)&(0<k<1) のとき

k^2+(k-2)/3=0
3k^2+k-2=0
(k+1)(3k-2)=0
k+1>1>0だから
∴
k=2/3
↓これと(1)から
∴
k=2/3.または.5/7<k<2

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/07 11:39

No.3 です。

ああ、#3 は「0<x<1 の範囲に重解がある」という条件しか考えませんでしたが、これ以外に #4 さんのとおり

一般解
　x = k ± √[k^2 + (k - 2)/3]
が異なる実数解である場合に対して

(i) k - √[k^2 + (k - 2)/3] ≦ 0 < k + √[k^2 + (k - 2)/3] < 1 となる場合
(ii) 0 < k - √[k^2 + (k - 2)/3] < 1 < k + √[k^2 + (k - 2)/3] となる場合

という条件も必要ですね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/07 00:34

(1) はできているようなので、質問したいのは (2) でしょうか？

0<θ<π では、θ=π/2 を除いて
　x = sinθ
は「2値関数」です。
従って、
　g(x) = 0
を満たす x の実数解が１つ（つまり重解）のときに、0<θ<π の θ の実数解が2つになります。

θ=π/2 つまり x = sin(π/2) = 1 のときには θ の実数解は１つなので、題意を満足しません。

従って、
　0 < x < 1
で g(x)=0 の方程式が重解をもつときに、 θ の実数解が2つということになります。

(1) で
　g(x) = -x^2 + 2kx + (k - 2)/3
が求まっているので、(2) を満足するのは
　g(x) = -x^2 + 2kx + (k - 2)/3 = 0　　　　①
が重解をもつときで、判別式より
　D/4 = k^2 + (k - 2)/3 = 0
→　3k^2 + k - 2 = 0
→　(3k - 2)(k + 1) = 0
よって
　k = -1, 2/3

k = -1 のとき、①は
　-x^2 - 2x - 1 = 0
→　(x + 1)^2 = 0
→　x = -1
これは 0<x<1 を満足しないので不適。

k = 2/3 のとき、①は
　-x^2 + (4/3)x - 4/9 = 0
→　9x^2 - 12x + 4 = 0
→　(3x - 2)^2 = 0
→　x = 2/3
これは 0<x<1 を満足する。

以上より、0<θ<π の θ の実数解が2つになるのは
　k = 2/3

このときの θ の値は
　x = sinθ = 2/3
より
　θ = arcsin(2/3)

ここで、0 ≦ arcsin(2/3) ≦ π/2 なので、0<θ<π では
　θ = π - arcsin(2/3)
も θ の解となります。

この回答へのお礼

詳しく解説ありがとうございます。今日のうちに解きます。

お礼日時：2024/11/07 04:00

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/11/06 22:53

問題文がちょっと舌足らずだな。

(1)のg(x)が意図するところは「θを含まない式」にしろ、ってことでしょう。cos(2θ)をsinθで表すには加法定理か「倍角公式」を使えばいいですね。(2)はおそらく、（2つ以上ではなくて）ちょうど2つの実数解を持つようなkの範囲を尋ねているつもりじゃないかしらん。だとすると、「g(x)=0がちょうど1つの解Xを持っていて、かつ0＜X＜1である」ということと「g(X)=0で、かつ方程式sinθ=Xが0＜θ＜πにちょうど2つの解を持つこと」は同値ですね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/11/06 22:19

どこがどのようにわからない?

どこまで理解できていて, どこで混乱している?