ここでいうスカラーとはなにを意味しているのでしょうか。スカラーの意味があまりよくわかっていなのでベク

ここでいうスカラーとはなにを意味しているのでしょうか。スカラーの意味があまりよくわかっていなのでベクトルとの違いについても教えていただけると嬉しいです。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/19 08:59

係数って定義がよくわからない言葉なんだよな。

項の積の一部分て定義がよく紹介されているけど
単独の数字も係数って呼ぶよね。
2次方程式のゼロ次の係数とか・・・
x^0 の係数ってことなのかな？　とすると 係数でも良いのかも・・・
中学の定義だと項の数字部分だけで変数はダメとか書いてある。
マジか？

なので、「係数」かと聞かれてもうまく答えられない。
私の数学の素養はこんなものです(^^;

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/18 18:35

＞ 今回の場合のスカラーは係数ですか？

スカラーの意味は、今回に限らず常に No.3 です。

写真の文章には、『スカラーを Q とする線型空間 V』と書いてありますね。
いちびりを言うと、集合 Q がスカラーなんじゃなく、Q の元がスカラー。
つまり、有理数が線型空間 V のスカラーだという話なんですが、
『 』のような言い方もよく使われてしまいます。

「係数ですか？」てのは、何を質問してるのか判然としない聞き方ですが...
線型空間というのは、大雑把に言うと、
スカラーを係数とする線型結合について閉じている集合 のこと
ですから、「スカラーは係数だ」と言ってもそう見当違いではないでしょう。

写真の例では、No.3 の意味で線型空間 (V,Q,*) において
k, l が Q の元でスカラー、
λ₁, λ₂, a₁ が V の元でベクトル なので、
スカラー k, l は線型結合 k λ₁ + l λ₂ の λ₁, λ₂ に掛かる係数
となっています。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/18 14:04

誤字訂正：

線型空間の条件は、
(a+b)*x = a*x + b*x,
(ab)*x = a*(b*x),　　←ここ
1*x = x,
a*(x+y) = a*x + a*y
でした。

今回の「スカラー」「ベクトル」に限らず、
他のものとの関係で名前が決まるものって
けっこうよくあります。
例えば、話はベクトルから離れますが、
有理数の加法群の単位元は 0,
有理数の乗法半群の単位元は 1 で
「有理数の単位元」と言ってもどちらのことだか判りません。
まあ、これには、環の単位元とは乗法半群の単位元を指す
というルールがあって、話がまた複雑なのですが。

この回答へのお礼

今回の場合のスカラーは係数ですか？

お礼日時：2024/11/18 14:38

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/17 10:10

Qって書いてあるけど。

恐らくこの文脈では、Qのフォントの選び方からして「有理数」
だと思う。

普通はスカラーは実数、複素数、有理数として間違いないが
厳密な数学では違う。これも使っている教科書の文脈次第。

この回答へのお礼

今回は有理数係数であることを表しているのですか？スカラーは係数？

お礼日時：2024/11/18 14:37

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/11/17 01:24

> ここでいうスカラーとは

そりゃQだとハッキリ書いてあるでしょう。有理数のことでしょ。というのは、Qはしばしば有理数体を表すのに使われるし、「有理数k,l」とか書いてあるし、そうだとすればこの空間で1と√(-3)が線型独立になってるのは（一方をどう有理数倍しても他方にはならんから）明らかだし。代数体のテキストですかね？

この回答へのお礼

高校生用のテキストです。有理数体とはなんでしょうか。有理数の集合と同じですか？スカラーは係数ですか？

お礼日時：2024/11/18 14:38

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/16 22:52

ある数がスカラーであるかそうでないか

ベクトルであるかそうでないか というのは、
線型空間との関係で決まることであり、
数そのものの性質として備わっているわけではありません。
その意味で、
向きがあるとか無いとかいう話は、見当はずれですね。

まず、線型空間を定義しましょう。
体 k と可換群 (V,+) があって、
k×V→V 型の演算 * が定義されており、
k の任意の元 a, b と V の任意の元 x, y について
(a+b)*x = a*x + b*x,
(ab)*x = a*(b*v),
1*x = x,
a*(x+y) = a*x + a*y
が成り立つとき、(V,k,*) の組を「線型空間」という。

(V,k,*) が線型空間であるとき、
V の元をこの線型空間の「ベクトル」,
ｋ の元をこの線型空間の「スカラー」と呼ぶ。

スカラーとは、そういうものです。
例えば、複素数をいくつか並べた数対(ここでは例として３個)に
(p,q,r) + (u,v,w) = (p+u,q+v,r+w),
a(u,v,w) = (au,av,aw)
で加法とスカラー倍を定義すると、線型空間になりますが、
この空間では、複素数がスカラーです。

一方、
複素数自体は実数をスカラーとするベクトルになっています。

これを見れば、舞台となる線型空間を抜きにして
「複素数はスカラーかベクトルか？」と問うことに意味がない
ことが判るでしょう。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/11/16 22:21

ふつうはそれ以前のどこかに書いてあると思うのだ.

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/11/16 21:20

ベクトルを習った時に出てきた筈ですが。

ベクトル : 向きを持った スカラー の事。
スカラー : 大きさだけで 向きを持たない量。
つまり 絶対値の記号を付けた ベクトル の事。

この回答へのお礼

大きさが有理数ということですか

お礼日時：2024/11/17 11:05