
数学、物理が得意な方に質問です。
ロンスキアンが0じゃないことを言うにはどうしたら良いのでしょうか。
行と列が4行4列以上あり、中身がxの関数で書かれているとします。もちろん地道に計算するのも良いのですが、xの関数がe^x (sinx-xcosx)のような関数ばかりだと、計算が大変で、ミスを起こす可能性もありますよね。
では、x=0を代入してこの行列式が計算しやすくなって(0や1ばかり)、ロンスキアンが≠0となった場合、一般にそのロンスキアンは0でないといえるのでしょうか。
GPTやAIの利用はやめてください。GPT.AIの回答は求めてません。
また、GPT、AIによる回答は物理、数学の知識が全くないと人間であるとバレます。幼稚なことはやめてください。
また、私は理工系の数学しかやっていません。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
<では、x=0を代入してこの行列式が計算しやすくなって(0や1ばかり)、ロンスキアンが≠0となった場合、一般にそのロンスキアンは0でないといえるのでしょうか。
>それは独立変数xのn個の関数が、あるn階線形同次微分方程式の
n個の解からなるロンスキアンならたしかにそうです。
この場合、
dW(x)/dx=-a(x)W(x) がなりたつから
(a(x)はn階方程式の係数関数から出てくる既知の関数)
W(0)≠0なら他のxについてもW(x)≠0 です。
もちろん一般のn個の関数のロンスキアンについて
W(0)≠0であっても他のxについてW(x)≠0とは限りません。
No.2
- 回答日時:
言えるんだけど...
これは、そこに登場する「0 でない」という言葉の
意味を正しく理解してるかどうかの問題。
いくつかの関数が線型従属ならば、それらの関数から作った
ロンスキアンは定数関数 0 になる。
対偶をとれば、ロンスキアンが恒等的に 0 じゃなければ、
もとの関数たちは線型独立だという話になる。
ロンスキアン行列の各項に x の値を代入して
ロンスキアン(行列式)の値が 0 でなかったとすれば、
関数としてのロンスキアンが定数関数 0 ではないことが
示されたと言っていい。
ただし、たまたま代入した x の値に対して
ロンスキアンの値が 0 になったからといって
「ロンスキアンが 0 だ」とは言えないから注意。
No.1
- 回答日時:
線形独立性を示したいという話なら
例えば対象が4つなら
適当な4つのxについて
a・f1(x)+b・f2(x)+c・f3(x)+d・f4(x)=0
の解がa=b=c=d=0 になることを
ひとつ示せば良いと思う。
>x=0を代入してこの行列式が計算しやすくなって(0や1ばかり)、
>ロンスキアンが≠0となった場合、
>一般にそのロンスキアンは0でないといえるのでしょうか。
言えないです。でも問題なのは恒等的にゼロかどうかだと思うんだけど
そういう話じゃない?
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