ガンマ関数の相反公式について

ガンマ関数の相反公式を証明を追うのはそう難しくないし、結果も面白い形をしていますが、どういうときに応用するのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/20 19:33

基本公式であり、様々な計算に使えると思いますが...

最も初歩的な応用は、解析接続でしょう。

ガンマ関数の定義には、いろいろなやり方があります。
素朴な方法としては、階乗の実数への拡張として
正の実数 x に対して Γ(x) = ∫[0,∞] t^(x-1)・e^-t dt と定義すると、
x が自然数のとき Γ(x) = (x-1)！ が成り立つ というものがあります。
同じ式で定義域を複素数まで拡張することもできますが、
積分が収束するのは、Re(x) > 0 の場合だけです。
相反公式 Γ(x)Γ(1-x) = π/sin(πx) を 0 < Re(x) < 1 の範囲で証明しておけば、
この等式を使って Γ(x) の定義域を Re(x) ≦ 0 へも広げることができます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。関数論の勉強は留数定理の応用止まりで、解析接続はまだです。助かりました。

お礼日時：2025/01/22 16:27