微積

解説に
1≦x≦3 のとき、接線となるためには
f(x)=-(x^2-4x+3)=ax
......
と合ったのですが
まずいきなり1≦x≦3のときの接線を求める理由がわからず
さらにf(x)はマイナスなのもわかりません。
何もわかってないので解説お願いしますT_T

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/01/24 23:23

直線は原点を通るから、曲線の右肩下がり部分(x<1の部分)及び、曲線の右肩上がり部分(x>3の部分)と、それぞれ1回づつ必ず交わる

そして、曲線のかまぼこ型の部分(1<x<3)の部分とは次のように共有点を持つ

・直線がかまぼこ形部分の接線であるとき、かまぼこ部分と直線の共有点は1個
冒頭で述べた左右2カ所との交点も合わせれば、共有点は合計で3個
・直線の傾きが、かまぼこ肩部分の接線の傾きより小さい時、かまぼことは2回交わる→共有点は合計で4個
これなら題意にあってる
・直線の傾きが、接線の傾きより大きいとき
直線はかまぼこの上部を通るから、かまぼこと直線の共有点は無し
合計でも共有点は2個

このようになるので1<x<3におけるかまぼことの接線は、共有点の個数が切り替わるキーポイントとなっています

そして、問題文に示された、f(x)の式の右辺には絶対値記号がついています
絶対値記号の中の式が負の値となる
1<x<3の範囲では、
絶対の中身が負なのだから
絶対値をはずすときにはマイナスの符号をつけて
y＝−(絶対値の中身)＝−(x²−4x+3)とするわけです

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/25 16:52

画像の通り

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2025/01/25 15:32

曲線と直線の共有点を4つ持つためには　作図すれば分かる様に

直線y=ax の傾きaが　0以上で　曲線のx座標が1と3の間にあるときで
接線の傾きの時の交点が3つなので　その時の傾きよりも小さい傾きの
時だから　接線の交点から傾きを求める必要があるのです
また
マイナスになっている理由は曲線y=|x^2-4x+3| が1と3の間では
x^2-4x+3 がマイナスなので絶対値になれば　絶対値は正なので
マイナスを掛けて正としていているからです
　( x=2の時　x^2-4x+3=2^2-4・2+3=4-8+3= -1 )

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/25 13:34

＞ まずいきなり1≦x≦3のときの接線を求める理由がわからず

それが、この問題の答えでしょ。

a の値をいろいろ変えて図を書いてみれば、
y = f(x) と y = g(x) の交点が 4個になるのは
0 < a < (y=g(x) が y=f(x) の 1≦x≦3 部分に接するときの a)
の範囲であることが判るはず。
ここが計算よりも大切なとこだし、
この部分を図から判断できなかったら、この問題は解けない。

その後は、単なる計算。
y=g(x) と y=f(x) の 1≦x≦3 部分の共有点は
ax = -(x^2-4x+3) の解だから、
接するのは、これが重解を持つとき。
判別式 = (a-4)^2 - 4・1・3 = 0 から a = 4±2√3 だが、
接点 x = -(a-4)/2 が 1≦x≦3 の範囲になるのは a = 4-2√3 のとき。

以上より、答えは 0 < a < 4-2√3.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/24 23:09

＞まずいきなり1≦x≦3のときの接線を求める理由がわからず

y = g(x) = ax
の「a の範囲（接するときに最大）」を求めるためでしょう。

ちなみに、
　f(x) = -(x^2-4x+3) = ax = g(x)
というのは、接線ではなく「共有点」を求めているのです。

そもそも、f(x) が
x≦1, 3≦x のとき f(x) = x^2 - 4x + 3
1≦x≦3 のとき f(x) = -(x^2 - 4x + 3)
だということが分かっていますか？

まずは、何をどのように求めて行くのか、どんな手順で解いていくのか、という「戦略」を立てないといけません。
その「戦略」が全く立てられていないみたいですね。