有効数字の扱い方について

有効数字を考慮した計算方法で加減算をする場合と乗除算が混合した場合の扱いについて分からないことがあり困ってます。
・加減算の場合
9.8＋19.6＝29.4　　答え 29.4？
→加減算の場合は、「有効桁位が最も大きいものに合わせる」なので、ルール通りすると上記のようになるが、有効数字の桁数が上がってしまうのは良いのか？

・混合した場合
①：9.8＋9.8×2.0＝9.8＋19.6 ≒9.8＋20＝29.8≒30　答え：30？
②：9.8＋9.8×2.0＝9.8＋19.6＝29.4≒29　　答え：29？
上記の2パターンが他の質問を見ても回答されている計算方法なのですが、それぞれ次のような疑問があります。

①の場合
計算するたびに有効数字のルールを適応していく方法方ですが、このやり方だと誤差が大きくなりすぎてしまわないのかという疑問です。

②の場合
他の質問での回答の説明には、「計算途中の場合は有効数字は1桁多く計算し、最後に丸める」とあったのですが、「最後に丸める」とは上記の問題の場合は有効数字を何桁に合わせることなのかがわかりません。
本来「9.8×2.0」は「20」と2桁で出す答えですが、あえて「19.6」と3桁で計算し、最後に2桁に丸めるということなのでしょうか？
その場合、有効数字の加減算のルールを完全に無視することになり、なぜ無視して良いのかがわからなくなりました。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/14 09:42

＞・加減算の場合

＞有効数字の桁数が上がってしまうのは良いのか？

はい、よいです。
加減算の場合には、「桁数」ではなくて、「桁・位」（お示しの例であれば「小数点以下1桁、0.1 の位」（以上の桁）が「有効」ということです。
　1234.5.7
　　　987.6
　　　　0.5
などもすべて「小数点以下1桁、0.1 の位」以上の桁が有効です。

＞・混合した場合
①：9.8＋9.8×2.0＝9.8＋19.6 ≒9.8＋20＝29.8≒30　答え：30？
②：9.8＋9.8×2.0＝9.8＋19.6＝29.4≒29　　答え：29？

①の「2.0」が「2つ、2個」ということであれば、それは「誤差」を含みませんから
　9.8 ＋ 9.8 × 2.0 = 9.8 × (1 + 2) = 9.8 + 9.8 + 9.8 = 29.4
になります。

①の「2.0」が「2.0 ± 0.05」（小数第2位を四捨五入したもの）と解釈すれば
　9.8 × 2.0
とは
　9.8 × (2.0 ± 0.05) = 19.6 ± 0.49
のことですから
　19.11 ～ 20.09
のいずれかということです。
従って、これに第１項「9.8 ± 0.05」を加算すれば、計算結果は
　① ：29.4 ± 0.54
ということになります。
（正確には、誤差は
　√(0.49^2 + 0.05^2) = 0.49254･･･
です）

これは、統計的に「最もありそうな値」（平均、あるいは期待値）が「29.4」で、その周辺に「標準偏差 0.5 程度で分布している」ということです。

これだけの誤差を内在した計算結果を、どのように表記すればよいかというのが「有効数字」です。
大学生以上であればきちんと「誤算伝播」を計算しなければいけないところを、高校生では「単純に桁数だけでごまかしている」のが「有効数字」です。

あまり深刻に考えてもしょうがないので、「お約束に従って処理する」以外に対処のしようがありません。
どのように対処しても、「いい加減な、簡易的なもの」に過ぎません。

ただ一つ言えるのは、「有効数字の考え方は、最後の計算結果だけに適用する」ということです。計算の途中でそういう「丸め」をすると、ますます誤差を増やします。
「計算途中の場合は有効数字は1桁多く計算し、最後に丸める」というのも、それ以上の桁数で計算しても、最終計算結果に対する有効数字判定にはほとんど影響しないことが多いからに過ぎません。複雑な計算の場合には「２桁多く計算」しなければならない場合もあり得ます。

＞その場合、有効数字の加減算のルールを完全に無視することになり、なぜ無視して良いのかがわからなくなりました。

なので、計算の途中でこういうことをしてはいけないのです。

こんなサイトを参照してください。
（「ここで説明するのは高校までに習う暫定的な簡易ルール。大学生以上は使用禁止？！」と書かれています）
↓
https://eman-physics.net/math/figures.html

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/14 12:23

No.3&4&5 です。

#1 さんへのお礼に書かれていることについて。

＞例えば次のような計算も乗除算で計算するのでしょうか？
＞9.8＋9.8100×2.000＝9.8＋19.620＝29.420≒29.42

乗除算が無駄に桁数が多いですが
　9.8100 × 2.000 ＝ 19.6200　　　　①
（注）乗除算のお約束では「有効桁数は４」ですが、それは最終結果に適用するので、ここでは多めの桁数を確保しておきます。

次に
　9.8 + 19.6200 = 29.4200 ≒ 29.4
（注）加減算のお約束で、「小数１桁目まで有効」なので、最終結果をそれに合わせます。
　結果的に①の「有効桁数４」の範囲内での計算結果になります。
　これが「乗除算、加減算が混在したときのお約束に従った答」になるかと思います。

もし、計算が
　9.8 ＋ 981.00 × 2.000
であれば
・後半の乗除算
　981.00 × 2.000 = 1962.00
　（次の加減算まで考えて、小数以下も書き出しておく）
・次に加減算
　9.8 + 1962.00 = 1971.80
加減算の「小数１桁目まで有効」からは「1971.8」となりますが、最初の乗除算で「2.000」の有効桁数が「４桁」なので、最終結果を「４桁」に丸めて「1972」とするのが「乗除算、加減算が混在したときのお約束に従った答」になるかと思います。

いずれにしても、あまり深刻に悩んでもしょうがない「概算での表記」に過ぎず、「どれが正しいか」などを議論しても結論は出ません。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/14 09:59

No.4 です。

失礼、

＞No.2 です。　→（正）No.3 です。

＞#2 に書いた　→（正）#3 に書いた

です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/14 09:57

No.2 です。

#2 に書いた

＞なので、計算の途中でこういうことをしてはいけないのです。

というのは、具体的には①の
　9.8 + 19.6 ≒ 9.8 + 20 = ～
のところです。
計算途中で
　19.6 ≒ 20
の丸めをしたら、その結果の「29.8」はより多くの誤差（不確実さ）を含むことになります。
（もともとの数値「9.8」や「2.0」に含まれる誤差に、さらに計算上の誤差を付加することになる）

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/14 08:19

有効数字のルールは、誤差の上限を保証しないただのルール

でしかないので、良いとか悪いとか言ってもしかたがありません。
敢えて言えば、そもそも有効数字のルールを使うこと自体が
良くないのです。

加減算の場合
9.8 が 9.75 〜 9.85 を
19.6 が 19.55 〜 19.65 を表すとして
9.8＋19.6 は 29.3 〜 29.5 の範囲になりますが、
有効数字のルールで出てくる 29.4 は 29.35 〜 29.45 を示唆しますね？
こうやって生じる誤差の無視が、このルールでは避けられないのです。
計算を繰り返すほど、無視された誤差が溜まってゆきます。
乗算では更に、除算ではそれ以上に、酷いことが起こります。

先生に言われたことを守るのが好きなら
有効数字のルールは使えばよいが、
これを使っていて誤差を気にしてもしょうがないのです。

No.1 回答者： ぷらぐろまあ 回答日時： 2025/05/14 06:33

加減算の場合はそのとおりです。

混合した場合は、どちらも正解とされています。
①の疑問はそのとおりで、誤差が結構出ます。
なので、通常は➁を使います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「どちらも正解とされている」とは思いもしませんでした！
「通常は②を使う」とのことですが、その場合は加減算のルールはどうなるのでしょうか？
例えば次のような計算も乗除算で計算するのでしょうか？
9.8＋9.8100×2.000＝9.8＋19.620＝29.420≒29.42
答え：29.42？

お礼日時：2025/05/14 07:43