2次関数

aを正の実数とし、f(x)=x^2-2ax+2a^2-3a がある。

放物線y=f(x)がx軸の0≦x≦a+1の部分と共有点を持つようなaの範囲を求めよ

という問題で下の解答があっているかどうかを教え、間違っていたら直して下さい。
もっと簡単な別解があれば知りたいです。

質問者からの補足コメント

• 高校で　共有点は接点と交点を合わせたものであると習いました。したがって、②の解釈だと思います。
  
  回答者様の「0≦x≦a+1 の範囲で f(x)≦0 」は
  下図の可能性があるため間違っていると思います。

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/06/07 22:04

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/08 04:28

y=f(x)=x^2-2ax+2a^2-3a=(x-a)^2+a(a-3)

は
軸
x=a
の
下に凸の放物線だから
y=f(x)がx軸と共有点を持つためには
f(a)≦0
であればよい

f(0)≧0≧f(a) ならば
中間値の定理から
f(x)=0
0≦x≦a
となるxが存在するから
y=f(x)がx軸と0≦x≦aで共有点を持つ

f(a)≦0≦f(a+1) ならば
中間値の定理から
f(x)=0
a≦x≦a+1
となるxが存在するから
y=f(x)がx軸とa≦x≦a+1で共有点を持つ

f(a)=a(a-3)
だから
D/4=-a(a-3)=-f(a)
になる

この回答へのお礼

なるほど。ax^2+bx+c=0 のときD=b^2-2ab で考えていました。

mtrajcp様の判別式の考え方だと3次式以上にも使えそうですね。

お礼日時：2025/06/08 10:11

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/07 15:47

あっている

この回答へのお礼

すごい　この解答簡潔でいいですね。

1点わからないことがあります。判別式が-f(a)なのはなぜですか？

お礼日時：2025/06/07 22:20

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2025/06/07 14:41

f(x)=x²-2ax+2a²-3a　をグラフで表すと、下に凸な 放物線ですね。

「x軸の0≦x≦a+1の部分と共有点を持つ」の「共通点」の意味は、
①「0≦x≦a+1 の部分で x軸と接する」と言う意味？
②「f(x)=0 の解が 2つとも 0≦x≦a+1 の範囲にあるという意味？
① の場合なら f(0)=0, f((a+1)=0 から 計算できるのでは。
② の場合なら 0≦x≦a+1 の範囲で f(x)≦0 から 計算で良いでしょう。