ラグランジェ補完法

mod11の上で二次の多項式がf(x)がある。
f(1)=1 f(2)=1 f(5)=4
のときf(0)をラグランジェ補完法で求めよという問題なのですが、まったくわかりません。

連立方程式を解くやる方ならわかるのですが、ラグランジェ補完法をやる授業を取っていなかったためどこから手をつけたらいいのかすらわかりません。

締め切りが近いです。助けてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： tomtom_ 回答日時： 2005/06/20 15:38

まずf(1)=1について考えます．

x=1でf=1を出したいのですが，逆に言うとx=2とx=5の時は，f=1は出したくないわけです．（x=2の時もf=1になるようですが，別な1だと思って下さい）
そうすると，x=2とx=5でf=1を出さないためには，f=1にゼロをかければ良いので，次のような式を考えます．

1×(x-2)(x-5)

これは確かにx=2とx=5でf=1の1を消してくれるのですが，x=1でf=1の1を出してくれません．x=1を入れて計算してみると，

1×（1-2)(1-5)=1×(-1)×(-4)=4

となって，f=1とは程遠くなってしまいます．そこで，式を工夫してこうしてみます．

　　(x-2)(x-5)　　　(x-2)(x-5)　　1
1×----------- = 1×----------=　 - (x-2)(x-5)
　　(1-2)(1-5)　　　(-1)×(-4)　　4

この式だと，x=1で1が出て，x=2とx=5ではゼロになってくれます．

同じようにf(2)=1について考えると，x=1とx=5でゼロになって，x=2でf(2)=1が出るような式を計算すると

　　(x-1)(x-5)　　　(x-1)(x-5)　　1
1×----------- = 1×----------= - - (x-1)(x-5)
　　(2-1)(2-5)　　　(+1)(-3)　　　3

となります．今の二つの式を足すと

1　　　　　　1
-(x-2)(x-5)- -(x-1)(x-5)
4　　　　　　3

となりますが，この式にx=1を代入するとf(1)=1が計算できて，x=2を代入するとf(2)=1が計算できます．これにあとf(5)=4の場合の式を出してさらに足した式を出して下さい．

最後に，その3つの和の式にx=0を代入すると答えです．連立方程式で2次関数を出してx=0を代入する方法と同じ答えになれば，正しい解答です．