二等辺三角形の両底角が等しい証明について

ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣにおいて、
∠Ｂ＝∠Ｃを証明するのに、普通は（？）
∠Ａの二等分線とＢＣとの交点をＤとして、
△ＡＢＤ≡△ＡＣＤを示して証明するようですが、

補助線を引かずに直接、△ＡＢＣと△ＡＣＢという「２つ」の三角形を考え、
「二辺夾角相等」より△ＡＢＣ≡△ＡＣＢ
を示して、
∠Ｂ＝∠Ｃ
である、という証明ではいけないのでしたっけ？

確か、いけないと聞いた気がしますが、理由を忘れてしまいました！
また、ユークリッドの『原論』での証明も補助線を使った証明だったような気がしますし、『原論』を学ぶ者はまずこの証明のところで挫折する、というような事を読んだ気がしますが・・・
（嘘だったら、スミマセン。）

どうぞよろしくお願いします！

No.3 回答者： graphaffine 回答日時： 2005/09/10 12:00

同じ三角形を考えることは問題ありません。

従って、証明は正しいように思えます。

＞確か、いけないと聞いた気がしますが、
誰に聞いたのかわかりませんが、その人も今までの回答と同じような思い込みをしていたのでは。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました．

「同じ三角形を考えることは問題ありません。」
と言っていただいて、少し安心いたしました。
（一般的な三角形については，△ＡＢＣ≡△ＡＣＢ は成り立ちませんものね！）

他の方には誤解があるかもしれませんので，
この場をお借りして「補助線を使わない証明」を書かせていただくと・・・

△ＡＢＣと（それを裏返した）△ＡＣＢについて，
ＡＢ＝ＡＣ　（二等辺三角形という仮定より）
ＡＣ＝ＡＢ　（二等辺三角形という仮定より）
∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＢ　（共通な角）
だから，「二辺夾角相等」となり，
△ＡＢＣ≡△ＡＣＢ　（点の順序は，合同となる重ね合わせに対応している）
すると，対応する角を考えて，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
つまり，∠Ｂ＝∠Ｃ　ということ．
なのですが・・・

Ｎｏ．３さんにはこの「証明」をご理解くださったようで，大変うれしいです！！

でも，でも，これでは確かいけないんですよ！！！　確か．
それで悩んでいるのです．
確か，「何とかロバの橋」とか何とかいう，『ユークリッド原論』にまつわる有名な（？）こぼれ話だった気がするのですが・・・　どうしても思い出せないのです～っ！

でも，もしかすると，Ｎｏ．３さんのおっしゃるとおり，私の単なる勘違いだっただけなのかも・・・スミマセン！

いずれにしろ，ご理解のあるご回答をいただき，ありがとうございました．

お礼日時：2005/09/10 12:33

No.2 回答者： Scotty_99 回答日時： 2005/09/10 09:28

質問者さんは、すごい証明の仕方ですね。

まず、その方法では証明問題自体成り立ちません。同じ三角形を２つ比べて、同じだ、なんて言うほどのことでもありません。なぜなら、もともと同じ三角形なのですから。

証明というのは一見、同じか違うかわからない２つ（以上）の三角形を比べて、同じだということを証明しなければなりません。１つの三角形ではだめなのです。

よって、２つ以上の三角形を作っていないので、質問者さんの証明法は不可となります。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました。

やはり，「１つの（同じ）三角形については，合同を証明するのはいけない」のでしょうかね？

しかし，△ＡＢＣに対してそれを裏返した△ＡＣＢを考えると，それは別の三角形で，これらは別々の「２つ」の三角形になると思うのですが・・・
そういう考え方もまずい，という事なのでしょうか？

いずれにしろ，ご回答をありがとうございました．

お礼日時：2005/09/10 10:03

No.1 回答者： mimikotyan 回答日時： 2005/09/10 08:13

質問者さんの証明の中で

三角形ABCと三角形ACBは同じ三角形ですよね
頂点の順番を言い換えただけなので、合同というよりは、もともと同じものであるから、合同とはいえないですね
そこが、その証明の違っているところだと思うのですが…

この回答へのお礼

早速にご回答をいただき，ありがとうございました．

「△ＡＢＣと△ＡＣＢは頂点の順番を言い換えただけなので，もともと同じものであるから合同とはいえない」
ということですが，こうした点がやはり「補助線を引かない証明」の不備なところなのでしょうかね．

しかし，△ＡＢＣと△ＡＣＢは元々「同じ」三角形ですから，「合同」には違いないと思うのですが・・・
そもそも，三角形は自分自身と合同である，と言っても構わないと思うのですが・・・
それとも，証明が合同条件を示せていない，ということでしょうかね？

いずれにしろ，ご回答をありがとうございました．

お礼日時：2005/09/10 09:39