積分の応用で、できると思うんですけど、いまいちわかりません。
どうやってだすんですか?

A 回答 (1件)

アステロイドx=a(cost)^3,y=a(sint)^3 (a>0)


の囲む面積Sならば
   S=4∫(0からaまで)ydx  だから
   x=a(cost)^3で置換すると
   dx=-3a(cost)^2・sintdt
S=4∫(π/2から0まで)a(sint)^3・-3a(cost)^2・sintdt
=12a^2∫(0から2πまで)(sint)^4・(cost)^2dt
=12a^2∫(0から2πまで)((sint)^4-(sint)^6)dt
=12a^2(I(4)―I(6))
   I(n)=∫(π/2から0まで)(sint)^ndtとすると
   I(n)=((n-1)/n)・I(n-2)
   I(2)=π/4より(2倍角の公式を使い積分)
   I(4)=3π/16,I(6)=5π/32
S=(3πa^2)/8            (終)
 
 
 

    
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Q数IIIの積分法なんですが問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算す

数IIIの積分法なんですが問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算するか分からなくなったらとりあえず置換積分の方法でといてみてとけなかったら部分積分でといてみるという解き方でもいいでしょうか?ほとんどは置換積分法で解けますか?

Aベストアンサー

前回質問から少し変わりましたけど、締め切らずに同様の質問をすると二重投稿と判定されることがあります。
もしも二重投稿と判定されたら、最初の質問が強制締め切りになります。
そのとき、ダメージを受けたり気分を害されたりするのは質問者でしょうか?回答者でしょうか?

では本題。

>>>問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算するか分からなくなったらとりあえず置換積分の方法でといてみてとけなかったら部分積分でといてみるという解き方でもいいでしょうか?

あなたの自由です。
戦略としてどちらが優れていてどちらが劣っているかは、ケースバイケース。
式を見てどう判断するかのコツは、すでに前回で回答しています。

>>>ほとんどは置換積分法で解けますか?

まさか。
置換積分を習ったばかりのタイミングでの小テストぐらいではないでしょうか。

Q積分法の応用だと思います。

y^2≦3(x+1)とx≦2の両方を満たす点(x,y)が存在する
領域の面積の求め方を教えてください。

Aベストアンサー

積分領域を図示すると添付図のようになりますので面積Sはx=2-f(y)を「-3≦y≦3」の範囲で
積分すれば良いです。f(y)はyの偶関数なので「0≦y≦3」の範囲で積分して2倍すれば良いです。

 S=2∫[0,3] {2-f(y)} dy

ここでf(y)は
 y^2=3(x+1)
x=(1/3)(y^2)-1=f(y)
2-f(y)=3-(1/3)y^2

 S=2∫[0,3] {3-(1/3)y^2} dy

この積分なら出来るでしょう。やってみて分からなければ、補足に途中計算を書いて、
詰まっている所を聞いてください。

なお積分すると S=12 となるかと思います。

Q線積分の問題だと思うんですけど…

z = x + iy のとき∫Γ(x - y + ix^2)dzを求めよ。Γはz = 0から z = 1 + i までを結ぶ線分という問題ですが線積分のやり方がわかりません。どなたか線積分のやり方と問題の御回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

Cを複素数の集合、Γを自己交差のないC内の曲線(曲線の厳密な定義は端折りますが素直なものを想定してください)とすると、適当な単射連続写像 f による単位区間[0, 1]の像Γ= f([0,1]) と表すことができますよね。すると、「f(0) から f(1) までΓに沿うφ(z) dzの積分」は、z = f(t) という変数変換を通じて、
「0から1まで実軸に沿うφ(f(t)) (df/dt) dtの積分」と書き換えられます(dz = (df/dt) dt です)。0から1までの積分なら見慣れた計算ですよね。

今回はたとえば、z = (1 + i)t とでもおけば、「z = 0 から z = 1 + i までを結ぶ線分」に沿った積分は、「t = 0 から t = 1 までの実軸に沿った積分」に書き換えられますよね。いま、x, y は z の実部と虚部を表していたので、x = t, y = t となります。従って、x - y + ix^2 = it^2, dz = (1 + i) dt
こうして、(x - y + ix^2)dz = it^2 (1 + i) dt = (-1 + i)t^2 dt と書き換えることが出来ました。求める積分はこれをt = 0 から t = 1 までの実軸に沿った積分したもの
(∫[0, 1] (-1 + i)t^2 dt )ですから、(-1 + i)/3 になります。

Cを複素数の集合、Γを自己交差のないC内の曲線(曲線の厳密な定義は端折りますが素直なものを想定してください)とすると、適当な単射連続写像 f による単位区間[0, 1]の像Γ= f([0,1]) と表すことができますよね。すると、「f(0) から f(1) までΓに沿うφ(z) dzの積分」は、z = f(t) という変数変換を通じて、
「0から1まで実軸に沿うφ(f(t)) (df/dt) dtの積分」と書き換えられます(dz = (df/dt) dt です)。0から1までの積分なら見慣れた計算ですよね。

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Q数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題と

数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

Q積分の応用なんですが

積分の応用なんですが

r = aθ (0≦θ≦b) の曲線の周長の求め方が分かりません。
途中過程を詳しく解説していただけないでしょうか?

Aベストアンサー

曲線のx座標, y座標が媒介変数tを用いて表される時、
その曲線の長さLは

L = ∫ √{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt

で求まる事は習ったと思います(高校数学の数3)。
これをそのまま使えばよいです。

<曲線のx座標、y座標の媒介変数表示>
まずは曲線上の点のx座標、y座標を
何らかの媒介変数を用いて表すことから考えてみます。
曲線上のx座標とy座標は、原点からの距離rと角度θを用いて
x = rcosθ
y = rsinθ
と表されます(このままだとr, θと変数が2種類あるので扱いにくいです)。
今回の問題で問われているのは曲線r = aθなので、
これを上記のxの式、yの式に代入してみると

x = aθcosθ
y = aθsinθ

となって、x, yが変数θのみを用いて表されることになります。
これで曲線r = aθのx座標、y座標が媒介変数θを用いて表されました。

<曲線の長さLの求め方>
よって今回の問題では

L = ∫√{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθ (積分範囲はθ = 0 ~ 2π)

で求められます。

後の手順は数3で習った通り、
(1) xの媒介変数表示の式x = aθcosθからdx/dθを求める
(2) yの媒介変数表示の式y = aθsinθからdy/dθを求める
(3) L = ∫√{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθに(1), (2)で求めた結果を代入
(4) 定積分∫√{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθ (積分範囲はθ = 0 ~ 2π)を求める
となります。

ちなみに、不定積分を求めなくても
定積分の値を求める事ができるのは習ったと思います。
なので(4)の手順で不定積分が求まりそうになければ、
わざわざ不定積分を求めようとしなくても大丈夫です。
もし置換積分をするのであれば、双曲線関数を利用すると良いかも知れません
(もし双曲線関数を知らないのであれば、参考URLの方を見てください)。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

曲線のx座標, y座標が媒介変数tを用いて表される時、
その曲線の長さLは

L = ∫ √{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt

で求まる事は習ったと思います(高校数学の数3)。
これをそのまま使えばよいです。

<曲線のx座標、y座標の媒介変数表示>
まずは曲線上の点のx座標、y座標を
何らかの媒介変数を用いて表すことから考えてみます。
曲線上のx座標とy座標は、原点からの距離rと角度θを用いて
x = rcosθ
y = rsinθ
と表されます(このままだとr, θと変数が2種類あるので扱いにくいです)。
今回の問題で問われているのは曲線r...続きを読む


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