No.1ベストアンサー
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アステロイドx=a(cost)^3,y=a(sint)^3 (a>0)
の囲む面積Sならば
S=4∫(0からaまで)ydx だから
x=a(cost)^3で置換すると
dx=-3a(cost)^2・sintdt
S=4∫(π/2から0まで)a(sint)^3・-3a(cost)^2・sintdt
=12a^2∫(0から2πまで)(sint)^4・(cost)^2dt
=12a^2∫(0から2πまで)((sint)^4-(sint)^6)dt
=12a^2(I(4)―I(6))
I(n)=∫(π/2から0まで)(sint)^ndtとすると
I(n)=((n-1)/n)・I(n-2)
I(2)=π/4より(2倍角の公式を使い積分)
I(4)=3π/16,I(6)=5π/32
S=(3πa^2)/8 (終)
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