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x^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれる領域Dを求めたいのですが、どのように求められるのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (8件)

ANo.7 です。


ANo.4さんの参考URLと同じものを参照していました。
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曲線が x^(2/3) + y^(2/3) = 1 で定義されるときは第1象限だけが対象ですが、媒介変数表示で x = { cos(θ) ]^3、y = { sin(θ) ]^3 で定義される曲線(アステロイド)は第1象限~第4象限までが対象になります。



後者のアステロイドで囲まれた領域の面積は、参考URLで a = 1 とした場合の (3/8)*π となります。第1象限の面積だけなら (3/32)*π = 0.29452431127404311610 ・・・ になります。

参考URL:http://sanwa.okwave.jp/qa169279.html
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「訊ねたのは面積で、曲線のパラメタ表示じゃない」


と言われないように、No.2 に補足。
アレは、∫{ x dy/dθ } dθ を計算せよという意味です。
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#4です。


A#4の補足質問の回答
>とても基本的なことに関してなのですが、x^(2/3)のxは、x^(1/2)のように、正の値しか取れないのでしょうか?
今の場合XY平面の面積を考えていますのでx,yは当然実数の範囲で考えるべきでしょう。
そうだとすると厳密にはxは正の値しか取れないですね。

この場合、
次の質問の回答にあるように
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
一般的なルールでは
x^rを考える時
 r が自然数 … x は任意の実数(※)
 r が整数 … x≠0(※)
 r が実数 … x>0
今の場合r=2/3(実数)ですから x>0という条件がつくということです。

なので、アステロイドを-1≦x≦1で考えたい場合は、正確な表現は
#2さんが触れて見えるように
(x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)=1
とすべきですね。

そうすればx(実数)が負でも x^2>0となり、その正の実数の(1/3)乗も上のルールが適用できます。
アステロイドの方程式は
x^(2/3) + y^(2/3) = 1
と書かれていますが、
正確には上のように
|x|^(2/3) + |y|^(2/3) = 1
または
(x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)=1
と書くべきですね。

---より詳細な解説----
x=0に対しては
0^(2/3)=0としますが微妙です。
ε>0に対してlim(ε→0)ε^(2/3)=0、
lim(ε→0)(-ε)^(2/3)=?と確定しないからです(上のルールが適用できない)。しかし((-ε)^2)^(1/3)であれば問題なしですね。
0<x<1は問題なし。
-1<x<0の場合も
(x^2)^(1/3)であれば、x^2>0なので(1/3)乗しても上のルールが適用できます。
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x^(2/3) + y^(2/3) = 1


これはアステロロイドといいます。
有名な曲線ですので質問する前に過去の質問を検索してみると良いですね。
この面積は過去の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=169279
の回答でa=1の場合と同じです。
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この回答へのお礼

皆さん、回答ありがとうございます。
とても基本的なことに関してなのですが、x^(2/3)のxは、x^(1/2)のように、正の値しか取れないのでしょうか?

お礼日時:2009/08/03 16:32

アステロイド、という曲線。

比較的に、有名。


http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/aste …
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2/3 乗の定義については、


(x~2)~(1/3) くらいで了解するとして…

x = (cos θ)~3
y = (sin θ)~3
とか、どうですか?
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y = ???


に変形して積分?
「x^(2/3) + y^(2/3) = 」の回答画像1
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