『平行四辺形ABCDの辺BCを2:1に内分する点をE,AEの延長とDCの延長との交点をF,AEとBDの交点をGとして次の問いに答えなさい。
 
 (1)三角形CEFの面積は、平行四辺形ABCDの面積の何分のいくらか。

 (2)平行四辺形ABCDの面積が24のとき三角形AGDの面積はいくらか。

 (3)四角形GECDの面積が22のとき平行四辺形ABCDの面積はいくらか。   』

 という問題です。(1)はわかりますが(2)、(3)がわかりません。
 ちなみに答えは  (1)12分の1 (2)7.2 (3)60  です。

 よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

えーっと、図形の問題を文字だけで解説するのは難しいので、


とりあえず、整理されたものを書きますね。
わからない点があったら質問下さい。
時間の許す限りお答えします。
まず、以下のことについて確認をお願いします。

BE:EC=2:1
DC:CF=2:1
BG:GD=2:3
AG:GE:EF=6:4:5

よろしいですか?

ここまでして、GとCをつなぎます。
そして△GECの面積を4と設定します。
(これはGE:EF=4:5であるのに起因します。)
すると、

△GEC=4
△EFC=5
△GCD=18
△GBE=8
△ABG=12
△AGD=18  となります。

(1)は、
平行四辺形ABCD
=△GEC+△GCD+△GBE+△ABG+△AGD
=4+18+8+12+18
=60 で、
△EFC=5 であるので5/60=1/12

(2)は、
(1)から、平行四辺形ABCD=60、△AGD=18
だから、24×(18/60)=36/5

(3)は、
四角形GECD=△GEC+△GCD
       =4+18
       =22←問題って良くできてますね。(当たり前か(^^;))

自分の使用した面積比を表す数の合計が、
問題の設定(四角形GECDの面積=22)の面積を表す数と一致するので、
平行四辺形の面積は、(1)でわかったことから60となります。

このように、線分比から、あらかじめ思い当たる三角形
すべての面積比を出しておけば、容易に解答することができるでしょう。

いかがですか?
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
かなり助かりました。私は図形的なものが苦手なようです・・・
本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/11/19 23:56

ヒント


(2)△AGDと△EGBは相似ですよね。比は?
AG:GEは?
よってAF:AGは?
△FADの面積は△CEFの9倍ですよね。
△AGDと△DGFの比はAG:GFになりますよね。
(3)台形AECDの面積は?(△AFD-△EFC)
(2)で△AGDと△DGFの比がわかっているのだから
△AGDと△AFDの比もわかりますよね。
四角形GECDの面積がわかっているのだから△AGDの面積もわかりますよね。
(2)で△AGDと平行四辺形ABCDとの比がわかっているのだから・・・
答えがわかっているのであえて解答は書きませんが、理解してください。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
図形問題が苦手な私に対して、ヒントありがとうございました。

お礼日時:2001/11/19 23:58

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Aベストアンサー

No.1一応補足。
No.1は一つの球体としての仮定です。

>ごろごろと球体があるだけではなく、5つの団子をくっつけて1つの団子にした場合というニュアンスだったと思います。
この場合「点」ではあれど、球と球は「接触」しており、この部分は「表面積」からは場外されます。
その為、接触状態の表面積は球5個が独立して存在する場合の表面積の合計より極小ながら少なくなります。
イメージしにくい場合は、まず面接触でイメージしてください。
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回答&解説をよろしくお願いします。
_(._.)_

Aベストアンサー

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

半径rの円周の長さの公式は2πrなので、半径6の円の円周は、2π×6。S1はこれに高さ8をかける。

S1=2π×6×8=92π。

半径rの円の面積の公式はπr2乗なので、半径6の円の面積は、π×6×6.V1はこれに高さ8をかける。

V1=π×6×6×8=228π。

3)
高さ6cm、底面の半径が8cmの円錐になる。

S2は円錐を展開した場合の扇型の面積。

半径r、母線lの円錐の、扇形の面積はπlr。

円錐の母線の長さは辺ACなので10。底面の半径は辺ABなので8。

S2=π×8×10=80π。

V2は円錐の体積。

半径rの円が底面、高さhの円錐の体積は、1/3×πr2乗h。

高さは辺BCなので6。底面の半径は辺ABなので8。

V2=π×8×8×6÷3=128π。

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

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△BOCはその半分で 6√5としましたが正解でしょうか?

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と言うことかと思いますが、もっと簡単な解法があれば
教えていただきたく思います。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

AからBCに垂線AHを引き、BH=xとすると、
△ABHで三平方の定理から
AH^2=49-x^2・・・(1)
△ACHで三平方の定理から
AH^2=64-(9-x)^2・・・(2)
(1),(2)から
49-x^2=64-81+18x-x^2
18x=66
x=11/3
(1)から、AH=(8√5)/3
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Aベストアンサー

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2年ぐらい前に私が投稿した回答文をご参照ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2004787.html

ある緯度の、微小な長さを経度φで積分すれば、
(ボールを輪切りにしたときの)1つの円周 2πr・cosθ となり、
それを緯度θで積分すれば、すべての円周の合計、すなわち、球の表面積になります。

球の表面積を半径rの方向に積分すれば、球の体積になります。


微分は積分の逆として考えればよいので、下記のようになります。



球の中心を原点とした極座標(r,θ,φ)で考えるとき、

体積をrで微分すれば、表面積。
(体積は4πr^3/3、表面積は4πr^2 ですから、合ってますよね?)

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Q円に内接する三角形の面積が最大のときの三角形の形の証明

【問題】
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rが最大のときは円の面積が最大。そのときの三角形ABCは正三角形だと
予想できるのですが、証明の仕方がわかりません。
わかる方教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

まず、方針としては以下のようになります。

(1)内接する三角形のうち三辺a,b,cの和が最大となる三角形は正三角形である
 事をまず証明します。

(2)それから、ヘロンの公式S=√s(s-a)(s-b)(s-c)を利用し、
S/s^2 = r/sの最大値はa = b = c すなわち、正三角形の時である
事を証明します。

ただし、a + b + c = 2s rは内接円の半径である。

(3)(1)(2)より、sの最大値,S/s^2の最大値はそれぞれ、正三角形の時で
あるから、(S/s^2)×s = (r/s)×s = rより、このとき同時にrも最大
になるので、その値がr = 1/2である事を示す。

といった手順で証明可能だと思います。

(1)について、

正弦定理より、a = 2sinA , b = 2sinB , c = 2sinCと表せます。
a + b + c を最大にするためには、2(sinA + sinB + sinC)を最大
にすれば良い事がいえる。ただし、(A + B + C) = πである。
y = sinxは、0 < x < πの範囲で上に凸の関数であるといえるので、
(sinA + sinB + sinC)/3 ≦ sin{(A+B+C)/3} = sin(π/3) = √3/2
であり、sinA + sinB + sinC ≦ (3/2)√3であり、
A = B = Cのおき等号が成立するので、A = B = C = π/3であり、
a + b + c は、a = b = cのとき、最大値3√3を取ると言える。

a + b + c ≦ 3√3 (a=b=cのとき等号成立)
すなわち、s≦ (3/2)√3 (2s = a + b + c)

(2)について、

S/s^2 = r/s =√(1-a/s)(1-b/s)(1-c/x)となり、
ここで、相加・相乗平均の関係より、

{(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s)}^(1/3) ≦ {(1-a/s)+(1-b/s)+(1-b/s)}/3
{(3s-(a+b+c))/s}/3 = 1/3 より、
{(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s)}^(1/3)≦ 1/3

よって、√(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s) ≦ (1/3)^(3/2) = 1/3√3
等号成立は、(1-a/s) = (1-b/s) = (1-c/s)すなわち、
a = b = cのときだから、この時、r/sは最大値1/3√3を取る。
すなわち、r/s ≦ 1/√3 (a=b=cのとき等号成立)

(3)について、

r = (r/s)×s
(1)(2)より、
(r/s)≦1/3√3 、s≦3√3/2 (ともに、a=b=cのとき等号成立)
r/s×s = r ≦ 1/2である事から、
r = 1/2が最大であると言える。

まず、方針としては以下のようになります。

(1)内接する三角形のうち三辺a,b,cの和が最大となる三角形は正三角形である
 事をまず証明します。

(2)それから、ヘロンの公式S=√s(s-a)(s-b)(s-c)を利用し、
S/s^2 = r/sの最大値はa = b = c すなわち、正三角形の時である
事を証明します。

ただし、a + b + c = 2s rは内接円の半径である。

(3)(1)(2)より、sの最大値,S/s^2の最大値はそれぞれ、正三角形の時で
あるから、(S/s^2)×s = (r/s)×s = rより、このとき同時にrも最大
になるので、その...続きを読む


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