反応速度論

次の問題が分かりません．誰か教えてください．

次式で表される複合反応を，体積が１ｍ＾３の連続槽型反応器で行う．Ｒが希望成分で，Ｓは副生成分である．反応原料はＡのみからなり，その濃度はＣA0＝5000

　　　Ａ→Ｒ，　　ｒ1＝ｋ1ＣA ，　ｋ1＝4h＾-1
　　　Ａ→Ｓ，　　ｒ2＝ｋ2ＣA ，　ｋ2＝1h＾-1

ｍol・m＾-3であって，その価格は200円・mol＾－１である．製品Ｒは2000円・mol＾－１で売れる．反応器と分離装置の操作費は（5000＋200ＦA0）〔円・h＾-1〕である．ここでＦA0はＡの物質量流量〔mol・h＾-1〕である．Ｓは有害物質であって，安全な物質に転換する費用として300円・mol＾－１が必要である．利益を最大にする供給原料の反応器入口での体積流量ｖとＡの反応率ｘAならびに１時間当たりの利益Ｐを求めよ．ただし，未反応のＡは分離装置によって全て回収して，反応器入口にリサイクルする．

No.5 ベストアンサー 回答者： Organomets 回答日時： 2001/11/30 15:40

＞答えを出すために，なにから求めたらいいのかわからないので教えてください．

問題を要約すると『利益が最大になるように条件を設定せよ』ということですから、まず与えられた数値や変数を用いて利益を表す式を書き表してください。以下の説明では『一時間あたりの利益をあらわす式』を考えます。

数値や変数でいきなり式を組むのが難しければ、次のように言葉で各パーツの意味するところを考えていけばよいと思います。このときに両辺の表す単位を [円/Hr] に統一することに気をつけてくださいね。まず利益＝生産高－生産費用と考えてみましょう(生産高や生産費用という言葉の使い方は正式なものではなく、ここだけでの用語であることをご了承ください)。

生産高に関しては

　生産高 [円/Hr] ＝ (Ｒ生産量 [mol/Hr]) × (Ｒ売価 [円/mol])　　(1)

と書きあらわすことが出来ます。次に生産費用は(2)式であらわすことが出来ます。

　生産費用 [円/Hr]
　＝ (操作費 [円/Hr])＋(消費原料費 [円/Hr])＋(Ｓ処理費 [円/Hr])　(2)

右辺のうち、(操作費 [円/Hr])については問題文章中に与えられていますね（5000＋200ＦA0[円/Hr])。例としてこれを言葉で書き表せば式(3)になります。使用する言葉については自分自身がわかりやすいように設定すればよいでしょう。

　操作費 [円/Hr]
　　＝ (機械運転費 [円/Hr])＋(原料移送単価 [円/mol]×原料移送量 [mol/Hr])　(3)

機械運転費とは原料移送を除く操作費であり 5000 [円/Hr]、原料移送単価は 200 [円/mol] という数値が与えられており、原料移送量についてはFA0 [mol/Hr] という変数が与えられています。

最初はこのように言葉でよいので、右辺と左辺の単位が合うように(2)式右辺の(消費原料費 [円/Hr])および(Ｒ処理費 [円/Hr])を書き表してみてください。

ここまでご理解いただけてないようでしたら先を説明しても意味がないので今回のアドバイスはここまでにしましょう。ここまでの私の説明でわからない点がある場合、あるいはご自分で先に進んでみて新たな壁にぶつかったとき、補足を下さい。私も考えないと回答できませんので、時間をかけてゆっくり考えてくださっていいですよ。一度理解すれば「あー、こうすればいいのか、簡単ぢゃん」と思えるはずですし、他の簡単なパズル的問題にも応用できると思います。

あ、この先の流れとしては、
１.利益を表す式を与えられた数値および変数で表す
２．各変数の関係を導き出して利益を表す式に代入する
３．得られた関数の極大値(最大利益Ｐ)を算出する
４．極大値を与えるときの v および xA を求める

です。

反応器内のＡの消費速度 d[A]/dt を表す式を与えられた変数で書き表すことと、連続槽型反応器　→　d[A]/dt = 0 とみなすことが重要な鍵になります。

No.4 回答者： Organomets 回答日時： 2001/11/23 16:46

まずloveoboさんの回答にもあるように、装置イメージを図に示すとわかりやすいと思います。

どの物質がどこからどこへどの程度の流量で移動するかを整理して考えるといいと思います。

私も回答ではなく、「こう考えればよいのでは」という一つの提案のヒントだけにします。私としてはloveoboさんと同じ方針？で考えていると思っています。しかし私とは違う解法を考えている方々にはチンプンカンプンかもしれませんね。

連続反応装置の定常運転中のことと捕らえてよいものと思いますので、反応容器内についてはd[A]/dt = 0と考えてよいでしょう。この場合の [A] は濃度で考えても反応容器内のmol数で考えてもよいと思います。まずはd[A]/dtをCA0, v, k1, k2, [A]で表す式(1)を書いてみる。また反応器出口のAの残存割合をxとすると、xを [A*] および[A0]の比で表す式(2)を書けますよね。式(1)と(2)からCA0, v, k1, k2, xの関係が明らかになりますよね。

ここらの関係をうまく組み合わせてコスト計算 (生産高－原料および運転費) の式に代入すれば、極大値を持つ関数に導けると思います。例えば -aX^2 + bX + c (a>0) とか。この極大値こそが求める回答のひとつであり、残りのパラメータについても関係式から算出できると思います。

とにかく図を書いてビジュアルに考えることが重要だと思います。あ、これは科学計算をする上での一般的注意ですが、計算途中で単位系がわからなくなりがちですので、計算の際には必ず右辺と左辺の単位が同じかどうかに気を配りながら計算を進めてください。特に係数が「１」や「０」となる場合は要注意です。

No.3 回答者： loveobo 回答日時： 2001/11/22 23:23

なかなか面白そうな問題で、「回答者の自己満足」に気をつけないといけませんネ。

さて、burisoさんは「連続槽型反応器」「分離装置」のイメージは描けてますか？
入口から出口までがｎ個の部屋に仕切られていて、ｎ部屋の合計容積が 1 kL
１室では「5000 mol/kL + リサイクル分」のＡ濃度に応じた速度でＡが消費され
２室では、少し薄くなったＣAに応じた速度でさらにＡが消費され・・・・
ｎ室（出口）を出た反応液が分離装置に送られ、ＲとＳからＡが分離されて入口に戻る

反応液は流れているので、各室の平均Ａ濃度は経時的に変化しないけれど
反応器全体としては「平均滞留時間で入口濃度から出口濃度に変化する」と置き換えられ
供給量のｘ倍のＡが消費され、Ａの消費量に見合うＲとＳが生成する
という考え方で良いと思うのですが、私は未だ解いていないので「自信なし」。
burisoさんの計算経過をお寄せください。

No.2 回答者： catfooders 回答日時： 2001/11/22 20:10

反応器入り口の原料供給量だけが体積というのはどういうことでしょうか？　また体積の場合、mol量と体積量の関係は？　これはリサイクル原料を含みますか？それとも新規のみですか？

補足をお願いします。

No.1 回答者： catfooders 回答日時： 2001/11/22 17:57

問題の内容はわかりましたし、回答もできます。

しかしながらあなたが本当に理解しない限り答えを教えても何もなりませんよね。

具体的にどのような解きかたをすればよいと思うのか、どこがわからないのか、補足してください。

今回の質問は違うと信じていますが、学校などで出された課題をそのまま質問してくる人が稀にいます。このような質問に答えるのは回答者の自己満足にはつながりますが、質問者のためには決してなりませんから。

この回答への補足

答えを出すために，なにから求めたらいいのかわからないので教えてください．

補足日時：2001/11/29 14:09