円錐の側面積

Question

円錐の側面積（展開図にすると扇形の部分）の公式

A=πrl　（A:面積、r:半径、l:母線の長さ）

は円錐の展開図から簡単に求められますが
これを積分で求めようとするとなぜか
A=πrh（h:円錐の高さ）になってしまい、うまくいきません。

どなたか積分の方法を教えてください。
私は薄い円柱を考えて、その表面積を足していっています。

pyon1956 · Accepted Answer

＞体積の場合と面積の場合では
積分の考え方が変わるのか納得できないもので・・・

この問題、もっと簡単な問題と同質です。
「三角形の二辺の長さの和は必ずもう一辺の長さに等しい」
これが正しくないことの証明の一つは、極限操作です。つまり、区分求積が正しいのは、有限回の操作をした和とが一定の値に近づき、かつ「それと求める図形の差」の総和が０に近づくことが必要です。あなたの例や、この問題では前半は満たしているが後半が満たされていません。
あなたの例では円柱の側面と円錐台の側面を比較します。すると、分割されたそれぞれの円錐台の側面と、円柱の側面の面積の差はたしかに０に近づきますが、しかし０に近づくのは分割を無限に近づけたときです。従って「円錐台の側面と、円柱の側面の面積の差」の総和は「０×∞」（粗雑な表現ですが）ですから、一般に不定値、必ずしも０になるとは限らない値ですね。ここが問題のありかです。
要はこの極限が0に収束するかどうかは日常の感覚ではなく、ちゃんと計算しないとダメって事です。
逆にこういうあたりを徹底的に追求してフラクタルなんかでスポンジみたいな表面の球なんてのを考える場合もありますが、これはまた別の話ですね。

pyon1956 · Answer

#5です。
eatern27さんのご解説の通りです。（ありがとうございます）

で、あとひとつ言いたかったことが、歴史的な話で、古代の極限の概念がなかった頃の人たちは、こういう場合、外側＞求めるもの＞内側、という図を考えて、分割を多くしていくと外側と内側がある値の周辺に近づいていくことから、たとえば3.2＞（求める値）＞3.1だから、求める値は3.1・・・・・という数らしい、とやったわけですが、この問題の場合求める数が仰るような分割ではこういう二つの間に設定されていないのです。だから極限をとっても求めるものと違う何かが計算されてしまう、と言いたかったのですね。以上補足まで。

eatern27 · Answer

#1です。横ヤリみたいで申し訳ありませんが
＞pyon1956さんがNo.5で仰っていたことは
＞ojamanboさんの仰っていることと同義と解釈してもいいのでしょうか？

ちょっと違いますね。juneyさんは、円錐の側面積を円柱の積み重ねで近似しようとしたわけですが、結論を言ってしまえば、その考えはダメだったんです。
#5さんは、「なぜその考えがダメなのか」
#6さんは、「具体的にどう積分すればよかったのか」
という趣旨のご回答です。

念のため、#5さんのご回答の補足的な事をしておくと、

個々の薄い円柱の体積・表面積と、円錐を薄く切ったもの(円錐台)の体積・表面積の差(斜面の影響)は、円柱を薄くすることによって、確かに０に近づきます。

しかし、円柱を薄くしていくと、よりたくさんの円柱を積み重ねることになります。

個々の円柱での誤差(斜面の影響)が０に近づいても、
よりたくさんの円柱について和をとることになるので、
全体の誤差(斜面の影響の総和)が０に近づくかどうかは自明ではありません。 (０に近づくのを無限個足すというのは、「０×∞」のような計算ですので、０に近づく事も有限の値に近づくこともあります)

だから、本当に「斜面の影響の総和」＝「誤差の総和」が０に近づくかどうかは、計算によって確かめる必要がある

と言った感じです。

体積の場合には、ちゃんと、「斜面の影響の総和」が０に近づいてくれるので、円柱の体積で近似することで、円錐の体積が求まります。
しかし、側面積では、「斜面の影響の総和」が０に近づかず、有限の値となってしまうので、円錐の側面積を、円柱の側面積で近似しても、円錐の側面積を求める事ができないのです。

yumisamisiidesu · Answer

#4です
一部計算が間違っていた為πrhになっていましたが計算しなおしたらπrlになりました
　Cr:={(x,y)|0<x^2+y^2<r2}
　f(x,y)=(x,y,h-(h/r)|x,y|) on Cr
とすると
　(∂f/∂x)(x,y)=(1,0,-(h/(r|x,y|))x)
　(∂f/∂y)(x,y)=(1,0,-(h/(r|x,y|))y)
　|(∂f/∂x)×(∂f/∂y)|=√(1+h^2/r^2)
となりました.このベクトル積の計算が間違っていました.あとは#4のように進めるとπrlになりました.

pyon1956 · Answer

少々追加。
極限を求めるとき、はさみうちをするのはご存知でしょうか？
アルキメデスとか、古代の学者たちがこういう問題を解くのに、極限の方法が発明されていなかったので、仰るような薄い円柱を積み重ねたものを、円錐に外接するものと内接するものの二つを考え、その二つの体積の間に円錐の体積がある、として求めたわけですが・・・・
表面積の場合、問題は内接する方の図形ですが。これの側面積の総和は円錐の側面積より大きくなってしまいます。（柱と柱の間の円の同心円の面積も入れないと側面とは言えませんね？）
逆に上の括弧内の面積を除いた場合は外接でも円錐の側面積より小さくなります。つまり２つの間に挟み込むことができていないのです。
つまり円錐＞外接＞内接となるか、または外接＞内接＞円錐となってしまうか、ということです。従って極限操作をしても「無限にでこぼこしたフラクタル的図形」の表面積にはなりますが、円錐は挟み込まれていないので無関係です。

繰り返しになりますが極限操作は我々の日常感覚を裏切ります（だからバークリさんやヘロンさんがいろいろ文句をつけた）。それを避けるため、古代にはこのような挟み込みで考え、近代にはεーδ論法などで極限をちゃんと定義してやらねばならなかったのですね。

noname#24477 · Answer

積分の直感的なイメージとしては積分方向（変数の取り方）は
求めたい対象に対して垂直な方向になります。

体積を求めたいときは断面積に対して垂直
面積を求めたいときは曲線（直線）に対して垂直です。
したがって側面積を円周を積分して求めようと思えば
円周に対して垂直、つまり母線の方向です。
＃３の人と同じことを言っているつもりです。

yumisamisiidesu · Answer

>なぜ体積の場合と面積の場合では
>積分の考え方が変わるのか納得できないもので・
このご質問に納得行くように説明するのは難しいんですが、曲面の面積の一般的な求め方について説明したいと思います.
　S:R^2∋(x,y)→S(x,y)∈R^3 1to1,微分可能
が単純な(空間)曲面の定義だったと思います.(一般的な微分可能曲面は単純曲面をスムーズに張り合わせる必要があると思います.)定義域をR^2の代わりにR^2の領域(連結開集合)Aにしても構いません.
　S:A∋(x,y)→S(x,y)∈R^3 1to1,微分可能
とします.このとき曲面の面積は
　∫(A,|(∂S/∂x)×(∂S/∂y)|)
で与えられます.これは像が同じであれば曲面を定義するときのSの取り方によって値が変わることがないことも証明されてます.
試しに上の公式を使って円錐の側面の面積を計算してみたいと思います.
　A={(x,y)|x^2+y^2<r^2}
　S(x,y)=(x,y,(h/r)(r-|(x,y)|))
は円錐の側面を与える曲面になると思います.
　∂S/∂x=(1,0,-(h/r)x/|(x,y)|)
　∂S/∂y=(0,1,-(h/r)y/|(x,y)|)
　(1,0,-(h/r)x/|(x,y)|)×(0,1,-(h/r)y/|(x,y)|)
= (-(h/r)x/|(x,y)|,-(h/r)y/|(x,y)|,0)
∴
　|(-(h/r)x/|(x,y)|,-(h/r)y/|(x,y)|,0)|
= h/r
∴
　∫(A,|(∂S/∂x)×(∂S/∂y)|)
= ∫(S(r),h/r)
=　πrh


あれっ、これもおかしい.どこがまちがってる?

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node109.html

pocopeco · Answer

積分で体積を求めるとき；v=Sdx を足していきます。
ここでは、面積S=πr^2 厚さdx
の薄い円柱。 

同様に表面積を考えるとき：S=ydx
yは横の長さで、dxはごく短い縦の長さですね。
ここでは、yは円周なので、y=2πr です。
dxはどうでしょう？面積を考えた時の縦の長さです。なので、薄い円柱の高さではなくて、母線に沿ったdxです。
母線に沿ってdxだけ進んだときの薄い円柱の高さをdtとおくと、dt=h*dx/l です。
式で書くと、

r(t)=r*(h-t)/h で、
∫[0,l]2πr(t)dx
=∫[0,h]2πr(t)(l/h)dt
=πrh*(l/h)
=πrl

ほかの方の回答とｘの取り方が違ってごめんなさい☆

yumisamisiidesu · Answer

C:高さh,底面の半径rの円錐とする
底面からxの高さの所の円の半径をr(x)とすると
積分は
　∫[0,h]2πr(x)dx　-(1)
一方
　r(x)=r*(h-x)/hより
　(1)
= ∫[0,h](2πr*(h-x)/h)dx
= 2πr/h∫[0,h](h-x)dx
= 2πr/h*([hx-(1/2)x^2]h,0)
= 2πr/h*(h^2-(1/2)h^2)
= πr/h*(h^2)
= πrh

これはおかしいので斜めで考えなければなりません

eatern27 · Answer

＞私は薄い円柱を考えて、その表面積を足していっています。

それでは上手く行きません。いくら円柱を薄くして足し合わせても「円柱の側面積たちの和」と「円錐の側面積」には差があります。

例えば、1cm:1cm:√2cmの直角三角形の斜辺を考えてみます。
　　／
　／
／
この斜線の長さは√2cmですよね。この斜辺を、
　　　　＿|
　　＿|
＿|
という階段で近似するとします。これの縦の線の長さの和は１cmですよね。正しい値(√2cm)とは違います。
ここでは、３段の階段で近似していますので、誤差と考えるかもしれませんが、４段、５段、・・・と段数を増やしていくと、階段自体は斜辺に近づきますが、縦の線の長さの和は、ず～～っと１cmのままです。決して√2cm(=斜辺の長さ)には近づきません。
す。

なんでこんな事になるのかというと、細かくした各階段に注目すると、
斜辺の長さ＝√2×縦の線の長さ
という関係が成り立ちます。なので、「縦の線の長さ」を全部足しても、求まるのは、斜辺の長さ÷√2だと言うのが分かると思います。
でも、各階段について「斜辺の長さ＝√2×縦の線の長さ」が成り立つのですから、「√2×縦の線の長さ」を足してやれば、「斜辺の長さ」が求まるというのが分かると思います。

つまり、縦の線たちの長さに、「√2倍」という補正をしてから足さないと、正しい値にはならないんですね。


円柱の側面で、円錐の側面を近似する場合にも、これと全く同じことがおきています。
円柱の側面＝縦の線
円錐の側面＝斜辺
と思えば、同じだと分かると思います。(くるっと一周回転させるだけですし)

上の直角三角形の例では、縦の長さを、√2倍して足し合わせる事で、正しい値が得られました。
ご質問の円錐の側面積では、円柱の側面積に何をかけてから、和をとれば(積分すれば)よいか、ご自分で考えてみてください。

まぁ、正しい答えが分かっているので、何をかけるべきかはすぐ分かってしまいますが^^;
要は、「円錐の側面積(＝斜辺の長さ)と円柱の側面積(縦の線の長さ)に何倍の差があるのか」ってのを考慮しないといけないんですね。


・・・という感じの説明で分かりますかね。文字だけだと非常に説明しづらいのですが。。。

円錐の側面積

＞体積の場合と面積の場合では

#5です。

#1です。

#4です

少々追加。

積分の直感的なイメージとしては積分方向（変数の取り方）は

>なぜ体積の場合と面積の場合では

積分で体積を求めるとき；v=Sdx を足していきます。

C:高さh,底面の半径rの円錐とする

＞私は薄い円柱を考えて、その表面積を足していっています。

この回答への補足

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