数学的n次元ポケットって？

質問：「４次元ポケットって」 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=19340 に対する回答の中で、tullioさんが
「正方形の中に円を４つ並べます．すると真中に隙間が空きますよね．で，そこに小さな円を入れます．(中略) 次元を上げて計算していくと，10次元を超えたあたりから立方体の大きさよりも大きくなります．」
という問題を出していらっしゃいます。これは面白いと思って早速やってみましたが...

[1] 半径rのn次元の球の体積は
　nが偶数： V[n] = (r^n) {π^(n/2)}/{(n/2)!}
　nが奇数： V[n] = (r^n) 2 {(2π)^((n-1)/2)}/{n!!} (ただしn!!= n (n-2) (n-4) ... 1 )
[2] n次元で一辺2の立方体の各カドに半径1の球を内接させた時、真ん中の隙間に入れる球の半径は最大r=(√n-1)/2。
[3] すると、立方体の体積 2^n に対する球の体積V[n]の比は、次元が上がるほど小さくなってしまう。
　どこかで間違えていると思うんです。ご教示をお願いいたします。

No.1 回答者： tullio 回答日時： 2000/12/16 20:01

いぇ，細かい数式は抜きにしても，ユークリッド空間を対象にする限り正しいと思います．球は次元を上げると立方体につめられる半径はどんどん大きくなりますが，体積はどんどん小さくなりますから．

しかし，これが最密充填問題になると，四角形の中に円が最高何個詰められるかすら未解決問題なのですから，全く数学というのは不思議なものです．

この回答への補足

ご回答の前半の意味がよく分かりません。
(A)「n>>10で,真ん中の球の直径>立方体の１辺」という命題が「正しい」と仰っているのでしょうか？あるいは「n>>10で,真ん中の球の体積>立方体の体積」 が正しいという意味ですか？ もしそうなら、身近で分かりやすく、しかも構成的に見える非可測集合の例（しかし構成不能が非可測集合の性質でした）ということになり、非常に面白いので、詳しく分析したいのです。お手数ですが、是非具体的な構成法をお示し願えないでしょうか。
(B)それとも、これらの命題は偽であって、もっと別の命題が「正しい」と仰っているのでしょうか？

＊　質問の中の［２］で「半径1の球を内接させた時」というのは「直径1の球を内接させた時」の間違いです。ごめんなさい。

補足日時：2000/12/16 22:38

この回答へのお礼

tullioさんご回答ありがとうございました。
　色々検討した結果、どうやらtullioさんが仰っているのは：
n=9次元では、真ん中に入る超球の直径は、超立方体の一辺と等しくなり、n>9ではこの超球の直径は超立方体の一辺より長くなる。
という事（これは当たり前）であり、体積比という意味で「立方体の大きさよりも大きくなります」と仰っているのではないようです。（従って「超立方体の体積が、その一部分の体積より小さくなる」という非可測性が現れる訳ではない。）
「４次元ポケット」という文脈で述べられたために、stomachmanが早とちりしたんですね。f(^_^")

というわけで、この項、これで閉じます。お邪魔しましたー

お礼日時：2000/12/17 01:05