近似値と無理数・有理数の関係

Question

近似値の中には無理数を有理数で代用するものもあるのでしょうか。
０．３３３３３・・・を０．３３で打ち切る場合と同じことなのでしょうか。近似値としてしか表現できないものもあるように思うのですが。

proto · Accepted Answer

どういう答えを期待しているのかわからないんですが、連想したことを書きます。
うろ覚えですが「はじめての数論」という本で読んだことです。

正の無理数αに対して
自然数の組(x,y)と|x-y*α|について考えます
細かい説明はしませんが引き出し論法により
　　|x-y*α|<1/y
となる(x,y)が無限に存在します。
少し変形すると
　　|x/y-α|<1/y^2
となる(x,y)が無限に存在し、これは十分大きな(x,y)について最適な組を探し計算すれば、|x/y-α|は十分小さくなるということです。
このときx/yがαを有理数で近似したものであることがわかると思います。

この場合目的の無理数と近似値の距離|x/y-α|の上限がわかっていますが。では下限を考えるとどうでしょう。
たとえば
　　1/y^3<|x/y-α|
が示されれば、有理数は無理数にある程度までしか近づけないということになります。
事実としてαが代数的数ならば
　　|x/y-α|<1/y^3
が成り立つ可能性のある自然数の組(x,y)は有限個であることが証明できます。
ですからそのような可能性のある特別な場合以外では
　　1/y^3<|x/y-α|
となります。

これはその数の性質によって決まることですが。
超越数の中には
　　|x/y-α|<1/y^4
のように、よい近似を無数に得られるものもあります。


つまり、有限の大きさの自然数の組を用いて無理数を近似する場合には、その近似値の精度には限界があるってことですね。

tatsumi01 · Answer

πを３．１４で代用するのは普通です。
また、アルキメデス以来、π≒２２／７として来たし、祖沖之が３５５／１１３としたんですが。

noname#20428 · Answer

０．３３３３・・・・は1/3なので有理数です。
整数の分数で表せるのが有理数ですね。

無理数を有理数で代用する例は、円周率の他にも２や３の平方根、自然対数の底ｅなど限りなくあります。

quantum2000 · Answer

Ｎｏ．３さんと同じく、質問者さんがどのような事を聞きたいのか
はっきりとは判らないのですが、こんな事はどうでしょうか？

Ｎｏ．３さんが述べている事と関連があるかもしれないのですが、
例えば、無理数である円周率π の小数表示を考えると、
　　π ＝ ３．１４１５９２６５・・・
ですから、その近似値として、次のような有理数Ａn が考えられますよね。
　　Ａ1 ＝ ３
　　Ａ2 ＝ ３１／１０
　　Ａ3 ＝ ３１４／１００
　　Ａ4 ＝ ３１４１／１０００ 
　　Ａ5 ＝ ３１４１５／１００００
　　　　・
　　　　・
　　　　・

これら有理数の近似値Ａn は、もちろん約分できるものもありますが、
いずれにしろ、有効数字がｎ桁の近似値になっています。
ですから、お望みの精度での近似値が有理数の中に見つけることが
（原理的には）できます。

そしてこうした事は、なにも円周率に限らず、一般の無理数についても
当てはまる訳です。

すると問題は、有理数の近似値の中で、近似の精度を上げるにしても、
いかに分子や分母の桁数の少ないような「扱いやすい」近似値があるか？　
という点ではないでしょうか？

つまり、近似値というのは、その真の値の代わりに数式に入れて、
計算を進める訳だから、なるべく扱いやすい数がいい訳でしょう。

例えば、Ｎｏ．１さんが述べている有名な円周率の近似値
　　２２／７　，　３５５／１１３
は，それぞれ分子が２けた、３けたの有理数の中での最良近似値となっている！
・・・だったと思います！？？

近似値と無理数・有理数の関係

πを３．１４で代用するのは普通です。

０．３３３３・・・・は1/3なので有理数です。

どういう答えを期待しているのかわからないんですが、連想したことを書きます。

Ｎｏ．３さんと同じく、質問者さんがどのような事を聞きたいのか

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