三角関数の微積分の根源とも言える lim[x→0] (sinx)/x = 1 は、実は証明されていない？

１０年以上前に、友人から聞いた話を、ふと思い出したのですが、



三角関数の微積分の根源とも言える極限値

lim[x→0] (sinx)/x = 1

は、実は証明されていない！


ということを聞きました。


これを聞いたときは、びっくりしました。

そのとき友人が見せてくれた文献が、月刊誌「大学の数学」だったか、それとも他の書籍だったか忘れましたが・・・・・、
たしか、その本に載っていた図では、上述の式の命題１個と、その親戚関係にある数個の命題があり、たしか、合計４～６個の命題がありました。
そして、全ての命題は、証明されていないという話でした。

それらの命題は互いに、円環状のループで結ばれていて、どれか一つだけが証明されさいすれば、残る３～５個も全て、連鎖的にに正しい定理として証明できるらしいのです。


現時点では、どうなんでしょうか。
証明されたのでしょうか？

また、私が曖昧にしか記憶してない上記の件について、全貌を説明しているＷｅｂサイト若しくは文献等ありましたら、ご紹介くださいませ。


何しろ、だいぶ前のことなので、上記のどこか、若しくは全部間違いてるかもしれませんが・・・


ぜひ識者の方々から教えていただきたいと思います。
よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/03/01 23:14

とことん厳密にいけば，

証明に「長さ」を使った段階でアウトです．
そもそも「長さ」とか「面積」を
どうやって定義するの？という問題がありますので．

この手の問題のスタンダードな方法は，
実数の存在とその演算の性質を認めて
さらに「連続性の公理」のうち，
どれかを認めることからスタートすることで
大抵の大学の初年度の解析の教科書は
この立場ですよね

それで，その「雑誌の記事」ですが
「実数の連続性の公理」と
「三角関数の極限」が同値だというような内容
なんではないかと想像します．
もし記事の内容がそうだと仮定して
さらにその記事の内容が正しいのであれば
公理なんですから
そういう意味では証明はされてないですね

「連続性の公理」はとにかくいろいろな表現があるので
その一つに「三角関数の極限」があっても
いいような気がしますが
もっとも，関数の一種である三角関数だけの命題から
一般的な命題である「連続性の公理」が
どうでてくるのかとか，
そもそも三角関数の定義として
何を採用するのかという興味はありますね
＃三角関数の定義としては
＃級数で定義するとか，
＃微分方程式の解で定義するというのもあります．

この回答へのお礼

ありがとうございます！
なるほど。長さ、面積ですか。
見せられた本に書いてたのが
『「実数の連続性の公理」と「三角関数の極限」が同値だというような内容なんではないかと想像します．』
とか「公理」とかいうことを含んでいたかどうか、残念ながら全く覚えてないです。
その場合、数個の命題のループになるんですかね・・・

お礼日時：2006/03/02 05:53

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2006/02/28 19:24

これは、この掲示板でも何度も話題に上っている問題ですね。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1912765
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=53355
とか。多分、ほかにもあると思う。

円周＜外接角形
の関係は、曲線の長さを折れ線の長さの上限で定義して、折れ線と外接多角形の間の関係を詳細に見ていけば、初等幾何の範囲でも証明できるんだろう、と思ってはいますが、実際にはちゃんとやってないのでわかりません。

この回答へのお礼

＞＞これは、この掲示板でも何度も話題に上っている問題ですね。

なるほど、sin の中の x に、かっこを付ければよかったんですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2006/02/28 19:58

No.2 回答者： graphaffine 回答日時： 2006/02/28 17:12

>lim[x→0] (sinx)/x = 1は、実は証明されていない！

高校レベルではその通りです。証明されていないと言うよりも、証明できない、と言うほうが正しいのですが。

大学レベルでは、当然、きちんと証明されます。
そのためには、三角関数の定義を高校までの直感的なものから、理論的に厳密なもの（流儀はいろいろあると思いますが、冪級数による定義が主流と思われる）に置き換える必要があります。
下記参考ページは、つい最近の某数学掲示板の内容です。たまたまとは思いますが、同じような話題が、ほぼ同時に複数のサイトで問題になるのは面白い現象ですね。

参考URL：http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=0 …

この回答へのお礼

＞＞＞同じような話題が、ほぼ同時に複数のサイトで問題になるのは面白い現象ですね。


ははは
ほんとだ。
こんな掲示板があったんですね。

かつて「私が聞いた」というのは、高校レベルの話という意味じゃないんですけどね・・・・・
まさか、ここ１０年で解決されたとすれば、数学年表に載りそうですよね。

「冪級数」は、漢字の読み方さえ知らないので、これから勉強します。

ありがとうございました。

お礼日時：2006/02/28 20:04

No.1 回答者： hinarikako 回答日時： 2006/02/28 15:45

この証明はされています。

最もわかりやすい証明は
挟みうちの原理を使います。詳細は斉藤正彦先生の
放送大学の印刷教材’微積分入門I'９８年版に記述
されています。この本は放送大学学習センターにあります。

この回答へのお礼

早速、ありがとうございます。

http://www-ise2.ist.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/study …
↑
ここに、
cos x < (sin x)/x < 1
で挟み撃ちするのが書いてますが、これのことですか？

お礼日時：2006/02/28 16:27