ベクトル

△ABCの外心O、OA=a,OB=b,OC=cとし、OH=a＋b＋cとする。
このとき、点Hは△ABCの垂心であることを証明する問題で、どのように証明をすればいいのかわかりません。

図で書くと
三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に引いた垂線は 1 点で交わる。この点のことを垂心

AH=OH-OA=c＋b
BH=OH-OB=a＋ｃ
CH=OH-OC=b＋c

AH⊥BC, BH⊥CA ,CH⊥AB

まで考えたのですがその後がわかりません。

・どうして|a|=|b|=|c|なのですか？
・AH*BC、BH*CA,CH＊ABを求めるのですか？
・△は∠A=90゜なのですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2006/04/01 19:06

仮定と結論をきちっと区別しましょう。

（仮定）
Oは△ABCの外心
OA=a,OB=b,OC=c（それぞれベクトル）としたとき、OH=a＋b＋c
（結論）
点Hは△ABCの垂心

結論をいうためには、
AH⊥BC, BH⊥CA ,CH⊥ABがいえればよい。

☆ポイント☆
ベクトルで垂直を示すには、内積＝０を示せ！（かなり基本ですが）

ということで、結論をいうためには
AH・BC=0, BH・CA=0 ,CH・AB=0がいえればよい。

・・・という解法の組み立てを行ったところで、
（これが２つめの質問の回答です）

AH=OH-OA=b+c（これはOH=a+b+cという仮定を適用）
BC=OC-OA=b-c
AH・BC = ・・・（以下略）

> ・どうして|a|=|b|=|c|なのですか？
仮定より、Oが△ABCの外心だからです。

> ・△は∠A=90゜なのですか？
どこにもそんなことは書いてないですが・・・？

No.3 回答者： katsu_ani 回答日時： 2006/04/01 14:32

> AH⊥BC, BH⊥CA ,CH⊥AB

が判っているのなら、直行する２つのベクトルがどのような関係を持っていたのか、確認してみましょう。
または、直行する２つの直線の関係でも良い。

> ・AH*BC、BH*CA,CH＊ABを求めるのですか？
三角形の面積から、証明できる場合もあるということです。
【三角形と三角比】について復習してみましょう。

> ・△は∠A=90゜なのですか？
実際に作図して確かめてください。

No.2 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/04/01 14:32

a,b,cはベクトルでしたか、失礼しました。

AH⊥BC, BH⊥CA ,CH⊥ABは、実際に計算すれば（内積をとれば）
すぐに確かめられます。
AH・BC=(OH-OA)・(OC-OB)=(b＋c)・(c-b)=0など。
これが確かめられれば、Hは垂心だと証明された
といっていいと思います。垂心は一つしか存在しないので
AH,BH,CHがそれぞれの対辺のベクトルと直角ならば、
点Hは垂心というほかないでしょう。∠A=90°ということ
はないと思います。一般のΔについて成り立つのでしょう。

No.1 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/04/01 14:02

まず、AH=OH-OA=c＋b

BH=OH-OB=a＋ｃ
CH=OH-OC=b＋c

とありますが、この関係式は最右辺だけは成り立ちません
。というのは、AHとかOHとかいうのは、全てベクトル
だからです。a,b,cはただの辺の『長さ』であり
これはスカラーなので、ベクトルの計算にそのまま
使うことはできないのです。
|a|=|b|=|c|という関係は、点OがΔＡＢＣの外接円の中心
なので当然成り立ちます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
迷惑をおかけしてすいません。
これからはあまり質問をしないように努力をしたいと思います。

お礼日時：2006/04/04 16:42