2つ質問させてください。
1.波動関数Ψを考えます。 普通|Ψ|^2=1となるように規格化すると、Ψの要素の一つをΨ_nとした場合、|Ψ_n|^2が確率としてでますよね。
もし、|Ψ|^4=1として規格化すると|Ψ_n|^4が確率になるんですか?
2.<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の場合(カッコ内は時間)、この式の解釈としては「Ψ(0)の波動関数は時刻t秒後にФ(t)となる波動関数とその他なんらかの波動関数の重ね合わせである」
またはΨ(0)、Ф(t)に対する固有値をA,Bとすると「Aという固有値がt秒後にBという固有値に変化する可能性がある」ということでしょうか?
最近よくわからなくなってきてしまい質問しました。よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
規格化とは、波動関数Ψの”トータル”の確率を1にすることです。
これは、単なる調整のための数学的な操作に過ぎません。また、実際の確率は、波動関数の絶対値の2乗に比例するのであって、4乗には比例しません。ブラケット<a|b>は、状態bが状態aに終わる確率振幅を表します。ブラケットは、通常、右から左に読みます。よって、<Ψ(0)|Ф(t)>≠0の意味は、Ψ(x)やФ(x)が時刻xの関数ならば、時刻tにおけるΦが、時刻0のΨに終わる確率振幅が0でない、つまり、この事象の起こる可能性はゼロではないということです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> 普通|Ψ|^2=1となるように規格化すると
(1) ∫|Ψ|^2 dv =1
ですね.積分を忘れています.
(1) ∫|Ψ|^4 dv =1
という規格化はあちこちぼろが出ると思います.
質問の意図は
(2) Ψ = a Ψ(1) + b Ψ(2)
のように波動関数を作ると(Ψ(1),Ψ(2),規格化直交波動関数,a,b は係数)
(3) ∫|Ψ|^2 dv = |a|^2 + |b|^2
になるが,
(4) ∫|Ψ|^4 dv = |a|^4 + |b|^4
となるか,ということでしょうか.
結論から言うと,そうはなりません.
(3)に(2)を代入すると,
(5) ∫ |Ψ(1)|^2 dv
のタイプと
(6) ∫ {Ψ(1)*} Ψ(2) dv
のタイプの積分が出てきます.
(5)は正規化で1,(6)は直交でゼロ.
このために(3)になるのです.
|Ψ|^4 ですと
(7) ∫ {Ψ(1)*}^3 Ψ(2) dv
の類の積分がいろいろ出てきて,それらはゼロにはなりません.
したがって,(4)は成立しません.
後半です.
Φがハミルトニアン(時間に陽に依存しない)の固有状態なら,時間発展は
(8) Φ(t) = exp{(-2πi/h) Bt}
です.B はΦのΦ状態のエネルギー.
したがって,t=0 でΦとΨがちがうものなら,
(9) <Ψ|Φ(t)> = 0
のままです.
ΦとΨが同じものなら
(10) <Ψ|Φ(t)> = exp{(-2πi/h) Bt}
です.
ハミルトニアンが陽に時間に依存しなければ,エネルギーは保存されます.
一方,ハミルトニアンが時間に陽に依存すれば,エネルギーは保存されません.
ここらへんは,解析力学の対称性と保存量に関するネーターの定理のあたりの
話と同じです.
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