放物運動の運動方程式を解く

問題は、
(1)放物運動の運動方程式を書け。（z軸とx軸の平面での運動)
(2)その方程式を解け。ただし初期条件は、t=0のときr(0)(ベクトル)=0=R0,v(0)(ベクトル)=V0=V0cosαex(単位ベクトル)+V0sinαez(単位ベクトル）
(3)軌道を求めなさい。
(4)αが何度の時x軸の到達距離が最大になるか。
です。
(1)はmx"=0,mz"=-mgと解けたのですが、(2)の答えがx=V0cosαt,z=-(1/2)gt^2+V0sinαtとなるのが解けません。どうやって解くのでしょうか。
また(3)の答えが-1/2・(g/V0^2)・（1/cos^2α）・ｘ^2+tanαｘとここまでは分かるのですが、次の
=-(1/2)・(1/V0^2)・(1/cos^2α)(x-(V0^2sin2α/2g))^2+(1/2)(V0^2/g)・sin^2α
という変形が分かりません。どうして分子のgが分母にいってしまったのか分かりません。もしかしたらノートの写し間違いかもしれないのですが、どなたか分かる方教えて下さい。あとできたら(4)も教えていただけるとありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/07/25 15:32

<<4:でT=2V0sinα/gはどこから出てきたのですか

これは、鉛直投げ上げにおいて、質点が、投げ上げてから最高点に達するまでの時間が、初速度をVoとして
t=V0/gという"公式"を使わせていただきました。
ご質問の場合、斜めに投げ上げていますけど、鉛直方向と水平方向に分解して、鉛直方向の速度のみ考えれば上のVoをV0sinαと置き換えるだけです。2倍しているのは、最高点に達し、さらに戻ってくるからです。
行きと帰りで時間は全く同じです。最高点に達する時間t=Vo/gは、公式として覚えておくと強力ですよ...
ちなみに、最高点の高さの公式はh=Vo^2/2gです。
これも使えます.

<<αについて微分するのはなぜですか
まず、物理において微分をしたものを=0とおくのは、
その微分されたものの最大値か最小値を求めるときに
限ります。今の場合、到達距離の最大値を求めたいわけです。ですから、到達距離Xをまず求め、その到達距離Xを微分して=0とおいています。そして、ここは肝要なのですが、何を変化させたときの最大値を求めたいのか、ということです。
今の場合、「αが何度のとき到達距離が最大か」
となってるので、αについて微分することになります。

応用として、先の公式：t=Vo/gを微分により求めます。これは、[質点が最高点にあるときの時刻を求めよ]と言い換えられます。ですから、これはzをtで微分
したものを=0とおけば、最高点に達するときの時刻が
求まります。z=-1/2gt^2＋Votをtで微分し=0とおくのです。
＜速度を出したということですか
速度は、距離を"時間について"微分したものです。
今の場合、時間についての最大ではなく角度についての最大を求めたいので、速度は関係ありません。

この回答へのお礼

おかげさまでわかりました。丁寧な説明、どうもありがとうございました。

お礼日時：2006/07/25 16:13

No.1 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/07/24 11:07

2:mx"=0⇒x"=0の両辺を積分すると

x'=C(定数) より、t=0のx'と等しいから
C=V0cosα　x'=V0cosαの両辺を積分
x(t)=V0cosαt＋C(積分定数) また、x(0)=C=0よりC=0
よってx=V0cosαt

mz"=-mg⇒z"=-g⇒z'=-gt＋C
z'(0)=C=V0sinαより
z'=-gt＋V0sinα
さらに両辺積分し
z=-1/2gt^2＋V0sinαt＋C
z(0)=C=0よりz=-1/2gt^2＋V0sinαt

3:x=V0cosαtよりt=x/V0cosα,
これをz=-1/2gt^2＋V0sinαtに代入。
あとは平方完成するだけです。
z=-1/2g(x/V0cosα)^2＋tanαx
=(-1/2)g/(V0cosα)^2{x^2-(1/g)V0^2sin2αx}
=(-1/2)g/(V0cosα)^2{x-(V0^2/2g)sin2α}^2
＋(1/2)g/(V0cosα)^2・(V0^2/2g)^2sin^22α
=(-1/2)g/(V0cosα)^2{x-(V0^2/2g)sin2α}^2
+(1/2)(V0^2/g)・sin^2α　です。つまり、ご質問の式ではカッコの前の係数にgが抜けているようです。

4:質点が到達する水平距離は
X=V0cosαT=V0cosα(2V0sinα)/g=V0^2sin2α/g
ですから、これをαについて微分します
X'(α)=(V0^2/g)2cos2αこれを=0とおくと
cos2α=0⇒2α=π/2⇒α=π/4

この回答への補足

4:でT=2V0sinα/gはどこから出てきたのですか？あとαについて微分するのはなぜですか？速度を出したということですか？それがゼロになるとは速度がゼロになる点ということですか？何度も質問し申し訳ありません。

補足日時：2006/07/25 14:42