式の値と同値

方程式や不等式を解くときに式の同値変形に
注意して解くことは良く聞くのですが、
いろいろな単元での式の値を求める問題は式の同値を考える必要性はなく、Ｐ⇒Ｑのみ考えればいいのでしょうか
例　sinθ+cosθ＝1/2のときsinθconθの値は?
この問題などは両辺を二乗してsin^2θ+cos^2θ=1
を利用してsinθcosθ＝-3/8　とすると思いますが両辺を二乗している段階で当然同値性は成り立たなく
なると思うのですが。

No.4 ベストアンサー 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/07/26 06:46

>判断基準みたいなものがあるのでしょうか

これは状況に応じて変わる問題ではないかと思いますね。
私は中学・高校の数学教育に関わっていますが、このあたりで（数学教育の中での扱い）は仰るように「～のとき」と指定されている場合は条件問題なのでそれ自体が同値性の全体にかかる条件だ、と解していると思います。
計算問題でも式変形などは同値変形が基本ですが、式変形で「～のとき」とついている場合があります。この場合も、「～のとき」は全体にかかる条件と解されるので逆にした時、「～のとき」をも含む、というものでは必ずしもありません。
他に、軌跡の問題ではしばしば逆の証明を「明らか」として省略します。
総じて「～のとき」を含む命題では「～」の部分を同値性ではなく条件と考えています。このあたりを明確にすると#1さんの答になるのですが、通常言わなくても明らかなので、同値性そのものの証明の場合以外は書かないだけだと思います。

No.6 回答者： noname#20691 回答日時： 2006/07/27 02:29

あ、そうですね。

質問文を読み返すと「...sinθcosθの値...」ですので、これなら最初に与えられている値を使って計算するだけですね。No2,No3の方が書かれている通りでしょう。

難しいのは「例題：(1+x)^nの展開をしたときのx^(12)の係数が62985,x^(13)の係数が38760となるような自然数nを求めよ」なんていうタイプですね。まあ、こんなのは悪問と言えば悪問ですし、実際入試なんかでこの同類の問題が出たかは私の頭にははっきりとは残っていないのであまり偉そうには言えませんが、単に値を求めるというだけでも結構しんどいときがありますね。（ちなみにこの例題は「解無し」です）

この回答へのお礼

ご指導ありがとうございます。

お礼日時：2006/08/10 00:42

No.5 回答者： springside 回答日時： 2006/07/26 11:55

>>その辺の判断がどうもあいまいなのでそうした点を教えて

パターン化するのは無理なのではないでしょうか。
かと言って、全部書き出す（「問題に○○と書いてあったら、□□と判断する。」など）のも無理なので、結局は、多くの問題をこなして自分なりにセンスを身に付け、出会う問題毎に自分で判断するしかないのでは？

いろんな問題をやっていれば、「同値性を求めているのかいないのか」は判ってくるような気がします。
（と言ってしまうと、身も蓋もないかも知れませんが）

この回答へのお礼

返信送れてすいません。結局、そのつど考えるしか
ないのですね。
ご指導ありがとうございます。

お礼日時：2006/08/10 00:42

No.3 回答者： springside 回答日時： 2006/07/25 13:30

そもそも、この例題って、同値性を求めていませんよね。

「sinθ+cosθの値が1/2ならば、sinθcosθの値は？」

と聞いているだけで、「sinθcosθがその値の時に、sinθ+cosθの値が1/2であり、かつ、それ以外の値にはならないことを保証せよ。」とは言ってません。

したがって、
sinθ+cosθ=1/2
→(sinθ+cosθ)^2=1/4
→1+2sinθcosθ=1/4
→sinθcosθ=-3/8
という主張をすればＯＫで、「←」は不要です。

この回答への補足

回答ありがとうございます。ＮＯ２さんの補足でも書きましたが、『～の式のとき～の式の値を求めよ』
の問題は同値性不必要。
それ以外は同値性必要と思って問題を解けばいいのでしょうか。その辺の判断がどうもあいまいなので
そうした点を教えていた炊ければありがたいです。

補足日時：2006/07/25 23:46

No.2 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/07/25 08:44

問題が、「sinθ+cosθ＝1/2のときsinθconθの値は?」ならば、

sinθ+cosθ＝1/2⇒A⇔sinθconθ=***
という設定になっています。仰る通り同値性はなりたっていません。
しかしこの問題は同値性を必要としない（ことになっている）問題です。
なぜなら問題そのものが「のとき」といっていますよね。PのときQがなりたつ、というのは同値である、ということの表現ではなく、まさにＰ⇒Ｑということを表している表現ですから。
この問題では不必要と思いますが、同値性を要求される問題でしたら、#1さんの書き方でも良いし、逆にsinθcosθ＝-3/8から考えると、
sinθcosθ＝-3/8⇔(sinθ+cosθ)^2=1/4⇔sinθ+cosθ＝±1/2
です。このことからもこの問題は必要条件を求めているのが解ると思います。
こういうのは慣用というか問題の種類によるので、場合によっては必要十分条件を求めねばならないこともあります。しかしこの問題の場合逆の成立を要求していません。それが「のとき」という表現なのでしょう。

この回答への補足

早速の解答ありがとうございます。私がこの質問で一番聞きたいのは同値性はどのようなときに考えなければ
ならないのか?という点です。三角関数の問題を例としたのは単なる一例としてです。式の値を求める問題は
中学１年のすぐの段階であると思いますし、また高校数学でも等式、指数など色々な単元であると思いますが、
結局『～の式のとき～の式の値を求めよ』の式の値を求める問題は同値性を考える必要はなく、Ｐ⇒Ｑの変形
で解を求め、それ以外の問題（方程式、不等式、最大、最小、軌跡など）などの問題では式変形で同値性を
考えなければいけないのでしょうか？
・・・の問題・・・同値変形必要
・・・の問題・・・同値変形不必要
といった判断基準みたいなものがあるのでしょうか
長い文章ですみません。

補足日時：2006/07/25 23:26

この回答へのお礼

返信遅れてすいません。いろいろご指導
ありがとうございました。

お礼日時：2006/08/10 00:40

No.1 回答者： noname#20691 回答日時： 2006/07/25 07:13

sinθ+cosθ=1/2かつsin^2θ+cos^2θ=1

←→　(sinθ+cosθ)^2=(1/2)^2かつsinθ+cosθ=1/2かつsin^2θ+cos^2θ=1
←→　sinθcosθ=-3/8かつsinθ+cosθ=1/2かつsin^2θ+cos^2θ=1

というふうに、元の条件式「sinθ+cosθ=1/2」を残しておかないと、同値変形になりません。気軽に消去するクセをつけてしまうと、テストでの点数まで消去することになります。こわいですね。

この回答へのお礼

早速の解答ありがとうございます。元の式を残すと
同値性がくずれないことは大変参考になりました。

お礼日時：2006/07/25 23:25