解き方(考え方)を教えてください

初めまして。高１です。一応県内トップ高なので、授業のペースも速く、不安です。
考え方が分からない問題は
a(b-c)3＋b(c-a)3＋c(a-b)3　です。
（）のあとの数字は3乗ととらえて下さい。

展開がわからないことはないのですが、ある文字に注目してまとめていく過程で出てくる共通因数の見つけ方のようなものがよくわかりません。
わかる方がおられましたら、是非教えてください。
お待ちしています。

No.4 ベストアンサー 回答者： chiropy 回答日時： 2006/08/08 00:28

私も一応世間では御三家と言われていたこともあった中高一貫校（今はどうか知りません）に通う高3男子です。

ちなみにxの三乗はx^3と書きます。

文字が複数ある方程式においては同時にそれらを考えることは難しいので、ある一文字を変数と考え残りを定数と考えると上手く行きます。
まずaを文字（変数）、その他の文字（b,c）を定数とみます。aに注目しているので、まずaについて降べきの順に並べます。
a(b-c)^3＋b(c-a)^3＋c(a-b)^3
=(b-c)^3*a+{-ba^3+3bca^2-3bc^2*a+bc^3}+{ca^3-3bca^2+3b^2*ca-b^3*c}
=(-b+c)a^3+{(b-c)^3-3bc^2-3b^2*c}a+bc^3-b^3*c
=-(b-c)a^3+(b^3-c^3)a+bc(c^2-b^2)
=-(b-c)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(c+b)(c-b)
=-(b-c)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c)(b-c)
=-(b-c)(a^3-ab^2-ac-ac^2+b^2c+bc^2)
ここで一整理できました。そうしたらこの作業は一度終わり。今度は少し整理された上の式が問題で与えられたと考えます。するとまた複数の文字が登場しているのでどれか一つを変数と見てやります。このとき変数と見てやる文字の選び方ですが
■次数の低いものについて整理
することが大切です。（最初はa,b,cどれも3次でしたのでaでそろえました。）（まだ因数分解されていないところについて）aは3次なので2次であるb,cに揃えます。以下はbに揃えてやります。
（与式）=-(b-c)(a^3-ab^2-abc-ac^2+b^2c+bc^2)
=-(b-c){(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2}
=-(b-c){(c-a)b^2+c(c-a)b+a(a^2-c^2)}
=-(b-c){(c-a)b^2+bc(c-a)+a(a+c)(a-c)}
=-(b-c){(c-a)b^2+bc(c-a)-a(a+c)(c-a)}
=-(b-c)(c-a){b^2+bc-a(a+c)}
ここでも一作業終わったので、またこの式が問題で与えられたと考え、何かの文字で整理します。（まだ因数分解されていないところについて）cが1次なのでcについて整理します。
（与式）=-(b-c)(c-a){b^2+bc-a(a+c)}
=-(b-c)(c-a){(b-a)c+b^2-a^2}
=-(b-c)(c-a){(b-a)c+(b+a)(b-a)}
=-(b-c)(c-a)(b-a)(a+b+c)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

ここで最後の形を見てください。a,b,cについて循環式？（名前忘れました。）になってます。最初の問題で与えられた式もそうです。このような時答えも循環式になるので計算ミスがないか確認が出来ます。
またこのレベルの計算は難関校では普通に出されます。早くて正確な計算が出来るように練習しましょう。以下に実際に入試ででた問題を載せてみます。

■旭川大
(a+b)c^2+(b+c)a^2+(c+a)b^2+2abcを因数分解せよ
【答】(a+b)(b+c)(c+a)

■松山大
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3を因数分解せよ
【答】3(a-b)(b-c)(c-a)

■横浜市大
次の式を簡単にせよ
a^3/{(a-b)(a-c)}+b^3/{(b-c)(b-a)}+c^3/{(c-a)(c-b)}
【答】a+b+c

これらの問題は全て循環式？であり、その答えも循環式であることも確認してみて下さい。これを知っているだけで途中の計算ミスに気付けたりするんですよ。

この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございました。
答えは同じでも、途中で「この式を問題で与えられたと考え」というのが非常に参考になりました。私は因数分解を途中で終わってしまって失点することがよくあるので、しっかり覚えておこうと思います。
あと、入試問題まで載せて頂いてありがとうございます。こんなことまでして頂けると思っていなかったので嬉しいです。循環式を確認することも是非実践していきたいと思います。今やってみましたが松山大に少し手こずっております…
御三家ですか…きっと恐ろしい勉強量なんですね。
今年受験ですよね。頑張ってください。

本当にありがとうございました。また是非よろしくお願いします。

お礼日時：2006/08/09 01:37

No.5 回答者： chiropy 回答日時： 2006/08/08 00:58

No.4です。

私が回答するときには既に他の方の回答もあったのですが、長くて読んでませんでした。その結果No.2さんと同じ回答でした。ごめんなさい。
なので最初の方の回答は無視してくれて構いません。最後の方の例題を紹介しただけだと思ってください。本当にすいませんでした。

No.3 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/08/07 11:27

いつでも使えるとは限りませんが、因数分解のときに有用なテクニックがあります。

a(b-c)^3＋b(c-a)^3＋c(a-b)^3
この式で a を変数、b, c を定数と考えます。

a を x で書き直して
P(x) = a(b-c)^3＋b(c-x)^3＋c(x-b)^3
とした方が判りやすいかも知れません。

ここで x = b とおくと P(b) = 0 はすぐわかりますから、P(x) は (x-b) で割り切れます。したがって、元の式は (a-b) で割り切れます。

同じようにして元の式は (b-c) と (c-a) でも割り切れる筈ですから
a(b-c)^3＋b(c-a)^3＋c(a-b)^3 = Q(a, b, c)(a-b)(b-c)(c-a)
と書ける筈です。ここで、Q(a, b, c)は a, b, c の多項式。

これから因数分解が求まるわけではありませんが、因数分解できたとき、合っているかどうかの確認になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
思いもよらぬ考え方で驚きました。　これから是非活用していきまいと思います。テストで役立ちそうですね。
丁寧に教えて頂き、本当にありがとうございました。

お礼日時：2006/08/07 16:28

No.2 回答者： s_t_a_ 回答日時： 2006/08/07 11:07

この式だけでは問題になっていないですけど。

因数分解せよ、という問題ですよね？できれば、質問者さんが途中まで展開して整理したところを書いていただいたほうが良かったかもしれません。分からないところを聞く、というのがこのサイトの主旨なので。

とりあえず展開はできるということなので、展開してみましょう。
ちなみに乗数を表示するときは、aの3乗であればa^3のように表示します。覚えておいてください。

(与式)
=ab^3-3ab^2c+3abc^2-ac^3
+bc^3-3bc^2a+3bca^2-ba^3
+ca^3-3ca^2b+3cab^2-cb^3

(a+b)^3の公式を使うと上のように展開できますね。では、質問の中でもおっしゃられているように、３つの文字のどれかに着目して整理していきます。
ここではaに着目することにします。
aに着目すると、展開された式の各項は、a^3、a^2、a、aを含まない、の4種類あるので、それぞれa^3などでくくりながら、降べきの順に並べてみます。

(c-b)a^3+(b^3-c^3)a+bc^3-cb^3

(c-b)を共通因数としてくくれるように、後ろの項を因数分解します。

(c-b)a^3-(c-b)(c^2+bc+b^2)a+bc(c+b)(c-b)

＊a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)を使いました。

(c-b)でくくります。

(c-b){a^3-(c^2+bc+b^2)a+bc(c+b)}

さて、ここで後ろの{}の中を見ると、aの3次式になっています。ですが、因数分解で一つの文字に着目するときの重要ポイントは、『次数の低い文字に着目すること』です。さっきはa,b,cのどれに着目しても3次式だったのですが、今回はbに着目すれば2次式なので、bに着目して整理します。

簡単のため、{}の中のみ書きます。
途中式も整理しつつ書きます。

（{}の中）=(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2

(c-a)という因数をくくりだせるように整理します。

(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a)
=(c-a){b^2+cb-a(c+a)}

また{}の中を因数分解します。ここではたすきがけをします。

({}の中)=(b+c+a)(b-a)

したがって、

(与式)=(c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

これが答えですね。最後はちょっときれいな形になるように符号を整理しました。

なんかもっとスマートな解き方があるのかもしれませんが、僕がやるとしたらこうやってゴリゴリ計算をすると思います。途中符号や次数を間違えないように注意してください。

共通因数の見つけ方が分からない、とのことですが、こういった問題では、とりあえず展開して整理すれば３乗の係数が(c-a)のように、因数として出てくることがほとんどですから、それに合わせて後ろを因数分解していけばいいと思います。

県内トップ高、スゴイですね。ついていけるように頑張ってください。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。(b-c)でくくるところで間違えていたことがわかりました。また、次数の低い文字に注目するという大前提を忘れていたようです。　詳しく、とてもわかりやすいご回答で助かりました。
因数分解せよ　という問題文を書き忘れて申し訳ありませんでした。また、今度質問させて頂く際には、アドバイスして頂いた通り、できるところまで書きたいと思います。
レベルが高くてキツイですが、頑張りたいと思います。本当にありがとうございました。　

お礼日時：2006/08/07 16:20

No.1 回答者： debut 回答日時： 2006/08/07 10:50

この式を因数分解するということですよね？

３乗は ^3 のように表すといいでしょう。

共通因数は　係数などを因数分解しつつ進めれば、自然に出てくると思う
のですが・・・
展開してａについて整理すると、
-(b-c)a^3+(b^3-c^3)a-b^3c+bc^3
=-(b-c)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a-bc(b^2-c^2)
=-(b-c)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a-bc(b-c)(b+c)
-(b-c)が共通因数
残りをbについて整理して、
残り=(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2
　　=(c-a)b^2+c(c-a)b+a(a^2-c^2)
　　=(c-a)b^2+c(c-a)b-a(a+c)(c-a)
(c-a)が共通因数
さらに残りをcについて整理して
残り=(b-a)c+b^2-a^2
　　=(b-a)c+(b-a)(b+a)
　　=-(a-b)c-(a-b)(a+b)
-(a-b)が共通因数
という具合ですが、どうでしょうか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
-(b-c)でくくるところで間違えていたことがわかりました。　共通因数のみつけ方がとてもよくわかるご回答で、助かりました。
因数分解せよ　という問題文を書き忘れて申し訳ありませんでした。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2006/08/07 16:23