微分の公式で
(sinθ)'=conθ
であるのは憶えているのですが、上式の時 θ=(ax+b)
だった場合はどうだったか憶えてないんです。

例題として
y=7*cos(0.5x+0.3)の微分の場合どうなるでしょう。

分るかた教えてください。

A 回答 (1件)

sin(ax+b)をxで微分するときはまず、


θ=(ax+b)
とおきます。そうすれば、
d{sin(ax+b)}/dx
=d(sinθ)/dx
={d(sinθ)/dθ}{dθ/dx}
={d(sinθ)/dθ}{d(ax+b)/dx}
=(cosθ)(a)
=acos(ax+b)
と、なります。

したがって例題は
dy/dx=-3.5sin(0.5x+0.3)
となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
いまいち曖昧な記憶だったので
大変助かりました。

お礼日時:2002/03/14 20:17

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sin^4θ+cos^4θ=1-2sin^2θcos^2θ
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この先はどう考えたらいいのでしょうか?よそしくお願いします。

Aベストアンサー

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

証明せよと与えられた式の左辺をP、右辺をQとすると、
P-Q=0となれば、P=Qがいえて、証明したことになる。
そこで、p=cosθ,q=sinθとして、P-Qを書き下すと、

P-Q
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=-{p^4-2p^2+(1+q^2)(1-q^2)}
=-{p^2-(1+q^2)}{p^2-(1-q^2)} (因数分解した)

ここで、p^2+q^2=1だから、p^2=1-q^2である。これを代入すると、
P-Q
=-{(1-q^2)-(1+q^2)}{(1-q^2)-(1-q^2)}
=-1*(-2q^2)*0
=0
したがって、P=Qである。

質問文の中の方法は、p^2+q^2=1という定理から出発して、証明する等式にもっていこうとしているのですが、この方法では、いろんな変形の可能性がどんどん増えていくばかりです。証明したい式から出発して、逆にたどっていくほうが近道です。

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

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Q(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ になる理由と過程を教えて頂きたいです

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cos2A+cos2B+cos2C
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosC)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{cos(180°-A-B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{-cos(A+B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(-cosAcosB+sinAsinB)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2(sinA)^2(sinB)^2-4cosAcosBsinAsinB-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2{1-(cosA)^2}{1-(cosB)^2}-4cosAcosBsinAsinB-3
=4(cosA)^2(cosB)^2-4cosAcosBsinAsinB-1
=4cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)-1
=4cosAcosBcos(A+B)-1
=-4cosAcosBcos(180°-A-B)-1
=-4cosAcosBcosC-1
=-4*(1/8)-1
=-3/2

外接円の半径をRとして、
cos2A+cos2B+cos2C=-3/2
⇔3-2(sinA)^2-2(sinB)^2-2(sinC)^2=-3/2
⇔(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=9/4
⇔(a/2R)^2+(b/2R)^2+(c/2R)^2=9/4
⇔(a^2+b^2+c^2)/4R^2=9/4
⇔R^2=(a^2+b^2+c^2)/9
⇔R={√(a^2+b^2+c^2)}/3

というかこういう問題は割と頑張って力押ししてみると、意外と見えてきたりする。

cos2A+cos2B+cos2C
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosC)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{cos(180°-A-B)}^2-3
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=4cosAcosBcos(A+B)-1
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Q角θは、0<=θ<=Πにおいて、絶対値(2cosθ+sinθ)<=1を

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Aベストアンサー

グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと
解くのが難しいかと思います。

1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
ここで cos(a)=1/√5,sin(a)=2/√5 (π/3<a<π/2)
π/3≦θ+a≦π+a<3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
cosθ+sin(2θ)=f(θ)とおくと
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
の範囲では
θ=π/2で f(θ)は最大となり,最大値f(π/2)=cosθ+sin(2θ)=0
θ=(3/2)π-2arccos(1/√5)で最小となり
このときcosθ=-sin(2arccos(1/√5))=-4/5
sinθ=-(2/5-1)=3/5
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最小値f((3/2)π-2arccos(1/√5))=(3/5)-(24/25)=-9/25
∴-9/25≦cosθ+sin(2θ)≦0

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1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
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1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

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y=sinθ+1とy=sin(θ+π/4)のグラフの書き方を教えてください。

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>y=sinθ+1とy=sin(θ+π/4)のグラフの書き方を教えてください。

y=sinθ+1のグラフは y=sinθ のグラフを上方(y軸正方向)に1だけ移動して描きます。

y=sin(θ+π/4)のグラフは y=sinθ のグラフを左方向(x軸負方向)にπ/4だけ移動して描きます。
(#1さんの回答は逆になっています。多分、早とちりミスでしょう。)

図を添付しておきます。
黒線:y=sinθ
青線:y=sinθ+1
水色線:y=sin(θ+(π/4))


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