ミクロ経済学の効用最大化問題

ある入試の過去問ですが、解法の糸口がつかめず困っております。

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効用関数Uを持つ消費者を考える。

U(x,y,z)= x^1/3・y^1/3 + z

この消費者が、競争市場で効用を最大化する時、財Xが中級財になることを示せ。財Zは負の消費量も認めることにする。

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この場合、予算制約式を
M=x・px + y・py + z・pz

と置いて、未定乗数法により財の消費量を求めると、Zの消費量が決まらず、困っております。

中級財かどうかを判別するため、X=X(px,py,pz,M)の需要関数を求め、Mで偏微分する方法しか思いつきません。

よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： gootttt 回答日時： 2006/09/10 22:35

うーーむ、難しいというかやはり答が知れないのが辛いですね。

とりあえず何となくですが、xyで所得の増加に対する、需要の弾力性ｎ（ΔX/ΔM・M/X）を求めれば良いのではないでしょうか?
で弾力性と所得の増加の限界値（Δｎ/ΔM）を求めれば良いのではないでしょうか？
一応計算してみて答らしきものが出たので、もし解けたら答教えてくださると助かります。
（自分の回答があっているかどうか確認したいので）

No.2 回答者： gootttt 回答日時： 2006/09/10 23:04

すみません。

なんか答出ませんです。解けそうで解けない、って感じでもどかしいです。

No.3 回答者： Hashi-Yoshi 回答日時： 2006/09/11 05:11

未定乗数法の一階条件は、以下の４式が出てきます。

(1)　　(1/3)*x^{-2/3}y^{1/3}-λp_x=0
(2) (1/3)*x^{1/3}y^{-2/3}-λp_y=0
(3) 1-λp_z=0
(4) p_x*x+p_y*y+p_z*z=M

変数は(x,y,z,λ)
外生変数は(p_x,p_y,p_z,M)
です。

λは、(3)式からもとまります。
求められたλの値を(1)式(2)式に代入します。
そして、(1)式をxについて解いて、それを(2)式に代入することによって、yの値も求まります。

そして、求められたｙの値を(1)式に代入することによってxも求まります。

あとｚは、(4)式から求まります。

以上で求められた需要関数x、yはMが変数になく、p_xとp_yのみが変数なってるので、中立財であることを確かめることができます。