(1)zを複素数としてu=(1-z^16)÷iz^8と置く。|z|=1ならば、uは実数であることを証明せよ。

(2)等式z^6=1を満たすzの中で、uが最大となるようなzを求めよ。

という問題です。
(2)の答が、z=(‐1/2)+(√3i/2)、(1/2)-(√3i/2)になることは分かっているのですが、(1)については解き方と回答、(2)は解き方が分かりません。
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

すいません先の解答、ところどころミスがありましたね。


ちょっと訂正させてください。

(1)まずuを変形してu=(1-z^16)÷iz^8=1/iz^8-iz^8=i(z^8-1/z^8)
つまりu=i(z^8-1/z^8)と変形できます。
ここで、|z|=1ならばz=1/(zの共役)(簡単に示せるので証明略)
を使うとu=i(z^8-(zの共役)^8)=i(z^8-(zの共役)^8)と書ける。

uが実数⇔u=(uの共役)が成立する。(簡単に示せるので証略)
だからu=(uの共役)を示せば上の同値性からuが実数であることがいえる。
そこでuの共役を計算する。
(uの共役)=-i((zの共役)^8-z^8)=i(z^8-(zの共役)^8)=u
よってuは実数であることが示された。

(2)z^6=1だからu=i(z^8-(zの共役)^8)=i(z^2-(zの共役)^2)
=i(z+(zの共役))(z-(zの共役))
となる。
z^6=1となるzは6つしかない(複素平面上で単位円を6等分した点)ので
これをすべて代入して最大となるものを求めても苦にはならないでしょう。
ただ上の式はzとzの共役を入れ替えても符号が変わるだけなので
実質4つを調べればいいことになります。
(ちなみにz^6=1を満たすzはz=cos(πn/3)+i*sin(πn/3),n=0,1,2,3,4,5
と書けることが知られています、揚げられている答の2つはn=2,5の時です)

またミスしていたらすいません。
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(1)まずuを変形してu=(1-z^16)÷iz^8=1/iz^8-iz^8=i(z^8-1/z^8)


つまりu=i(z^8-1/z^8)と変形できます。
ここで、|z|=1ならばz=1/(zの共役)(簡単に示せるので略)
を使うとu=i(z^8-1/(zの共役)^8)=i(z^8-(zの共役)^8)と書ける。

uが実数⇔u=(uの共役)だからu=(uの共役)を示せばいい。そこでuの共役を計算する。
(uの共役)=-i((zの共役)^8-z^8)=i(z^8-(zの共役)^8)=u
よってuは実数が示された。

(2)z^6=1だからu=i(z^8-(zの共役)^8)=i(z^2-(zの共役)^2)
=i(z+(zの共役))(z-(zの共役))=(z+(zの共役))(z-(zの共役))
となる。
z^6=1となるzは6つしかない(複素平面上で単位円を6等分した点)ので
これをすべて代入して最大となるものを求めても苦にはならないでしょう。
ただ上の式はzとzの共役を入れ替えても値は変わらないので
実質3つを調べればいいことになります。
あまり詳しく書きませんでしたが、細かいところは自分で考えたほうが
力になるでしょう。
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(1) |z|=1 であることから、z = e^(iθ) とおけますね。


  もし、kyoko_w さんが高校生ならば z = cosθ + i*sinθ と置いてください。

(2) (1)が出来れば z^6=1 を満たす z がわかっておられるようなので、
  少し考えれば解けるのではないかと思います。
  ただし、z^6=1 を満たす z は2つだけではありませんが…
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