ベクトルを使った三角形の証明問題なんですが、分かる方教えてください。(1)です。私の解き方は直線BP

ベクトルを使った三角形の証明問題なんですが、分かる方教えてください。(1)です。私の解き方は直線BPとOAの交点をNとして解こうとしたのですがON:NAが分からず困っています。解き方から違うのかもしれません。

質問者からの補足コメント

• 皆さん回答ありがとうございました！申し訳ないんですがここでお礼させていただきます。メラニウス定理とチェバの定理、結構つかえそうですね!BAは一番回答が早かった方にさせて頂きます!!

    補足日時：2019/10/06 00:17

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/09/28 21:58

LはABの中点だから

↑OL=(1/2)(↑OA+↑OB)
↓↑OA=↑a
↓↑OB=↑bだから
↑OL=(1/2)(↑a+↑b)

MはOBを2:1に内分する点だから
↑OM=(2/3)↑OB
↓↑OB=↑bだから
↑OM=(2/3)↑b

PはOL上の点だから
↑OP=xOLとなる実数xがある
↓↑OL=(1/2)(↑a+↑b)だから
↑OP=(x/2)(↑a+↑b)

PはAM上の点だから
↑AP=y↑AMとなる実数がある
↓↑AP=↑OP-↑OA=↑OP-↑a
↓↑AM=↑OM-↑OA=↑OM-↑aだから
↑OP-↑a=y(↑OM-↑a)
↓両辺に↑aを加えると
↑OP=(1-y)↑a+y↑OM
↓OM=(2/3)↑bだから
↑OP=(1-y)↑a+(2y/3)↑b
↑これと↑OP=(x/2)(↑a+↑b)から
(x/2)(↑a+↑b)=(1-y)↑a+(2y/3)↑b
↓↑a,↑bは線形独立だから
↓↑aの係数が等しいから
x/2=1-y
↑bの係数が等しいから
x/2=2y/3
1-y=2y/3
3-3y=2y
3=5y
y=3/5
これを↑OP=(1-y)↑a+(2y/3)↑bに代入すると
(1)
∴
↑OP=(2/5)↑a+(2/5)↑b

(2)
↑AP=y↑AM
にy=3/5を代入すると
↑AP=(3/5)↑AM
|AP|=(3/5)|AM|
5|AP|=3|AM|
5|AP|=3(|AP|+|PM|)
2|AP|=3|PM|
|AP|/|PM|=3/2
∴
|AP|:|PM|=3:2

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2019/10/02 21:30

貴方の解き方でも解けるでしょうが、不要でしょう！ON:ANがわかる必要性はないですね！

因みに、ON:ANはチェバの定理から、1/1・1/2・ON/AN=1からON:AN=2:1

また、因みに、初等幾何の面積でも解けますね！AL=BLから
△OAL=△OBL また
△ALP=△BLP よって、その差も同じ面積なので、
△OAP=△OBP
ここで、OM:BM=2:1から△OPM=(2/3)△OBP よって、
△OAP : △OMP=1: 2/3=3:2 従って、高さの等しい三角形の底辺の比も同じだから
AP : MP=3:2 あとは、位置ベクトルの定義を先程説明したね！

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/10/02 21:13

まず、メネラウスの定理から、1/1・(2+1)/2・PM/AP =1 ∴PM/AM=2/3

あとは、位置ベクトルの定義から
→OP=(2/5)→a+(3/5)→(2/3)b=(2/5)→a+(2/5)→b

No.3 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2019/09/30 11:59

三角形AMBに注目したメネラウスの定理より

(AP/PM)・(2/3)・(1/1)=1
AP/PM=3/2
AP:PM=3:2

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/09/29 15:41

OL上の点=t(a+b)/2 (t=0~1) ①

AM上の点=sa+(1-s)(2/3)b (s=0~1) ②

OLとAMの交点ではベクトルa、bの係数が一致するので
t/2=s
t/2=(2/3)(1-s)
→ 2/3=(5/3)s →s=2/5 →t=4/5
なので①式にt=4/5を代入して
べクトルOP=(2/5)a+(2/5)b

s=2/5 は、PがAMを3:2 に内分することを意味するので
AP:PM=3:2