マクロリーン展開

x/(1+y^2)のマクロリーン展開はどうやればいいですか？

No.8 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/06 09:44

cos の付いた問題のほうが、むしろ単純です。

定型的で不完全な処理しか、やりようがないから、
黙々と作業するだけだからです。

一般の関数について、マクローリン展開の
各係数を解析的に表示できることは、稀です。
もとの質問は、その稀な例だから、
関数の特徴を捉えて「上手く」計算しよう…
というのが、A No.2 の趣旨でした。

それに対して、提示した小技の適応でない
別の関数へ問題を移されたのでは、
正直ガッカリです。

A No.5, 7 にも見えるように、一般のというか
今回 cos の付いたほうの関数については、
最初の数項を書いて見せることができるだけで、
マクローリン展開の一般項を書き下すことは
できません。

No.7 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/06 07:28

#1,#3です。

A#3の補足について

>cos（x/(1+y^2)) (4次までのマクローリン展開）
#6さんが言われることはもっともです。
問題が変わり、しかも当初の問題より難しくなるので
新規に質問を立てるのが投稿マナーかと思います。
問題が変わる場合は、次回から一旦問題を閉めて、新たな投稿として下さい。

最も#5さんがもう手をつけて見えるので
回答しておきます。

cos(t)=1-t^2/2+t^4/24+...
cos(x/(1+y^2))=1-(1/2)(x^2)/(1+y^2))^2 +(1/24)(x^4)/(1+y^2))^4 +...

1/(1+t)^2=1-2t+3t^2 - ...
1/(1+y^2)^2=1-2y^2+3y^4 -...
1/(1+t)^4=1-4t+10t^2 -...
1/(1+y^2)^4=1-4y^2+10y^4 -...
より

cos(x/(1+y^2))
　=1-(1/2)(x^2)(1-2y^2+3y^4 -...)
　 +(1/24)(x^4)(1-4y^2+10y^4 -...)
　 +...
4次までの項を拾えば良い。

cos(x/(1+y^2))=1-(1/2)(x^2)+(x^2)(y^2)+(1/24)x^4 +...

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/06 00:58

何で、途中で問題が変わるの？

No.5 回答者： WiredLogic 回答日時： 2012/02/05 05:56

#4さんへの補足にある関数はタイプミスで、

本当は、#3さんへの補足にある関数、
ということですよね？

costのマクローリン展開
cost = 1 - t^2/2! + t^4/4! + …
は解りますよね？

そのtに、x/(1+y^)のマクローリン展開の結果を代入して計算、
xyの４次以下(２文字のときは、x^m * y^n で、m+n≦4)
の項だけを残せば、できあがり(なので、代入・展開は、
その範囲でやればよい)

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/04 21:58

等比級数とは、等比数列の総和のことです。

1 + r + rr + rrr + … = 1/(1-r)
は、高校で習ったでしょう？
これに r = -yy を代入してごらんなさい。

この回答への補足

ありがとうございます。理解しました。
今の問題で、cos(1+/1+y^2)にした場合、どのように４次までのマクローリンをすればいいですか？

補足日時：2012/02/04 22:36

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/04 20:55

#1です。

f(x,y)=x/(1+y^2),f(0,0)=0
f_x=1/(1+y^2),f_x(0,0)=1
f_xx=f_xxx=f_xxxx=…=0(xによる２階以上の偏微分=0)
なので
f_x(0,0)=1だけが残る。つまりxの１次の項だけが残る。
従って（当たり前のことですが）yによるマクローリン展開にxを掛ければf(x,y)のマクローリン展開になるということです。この事はA#2で#2さんも指摘されています。

1/(1+y^2)のマクローリン展開については
1/(1+t)=1-t+t^2-t^3 + … + ((-1)^n)t^n + …
なので
1/(1+y^2)=1-y^2+y^4-y^6+ … +((-1)^n)y^(2n) + …

従ってf(x,y)のマクローリン展開はxを掛けて
f(x,y)=x-xy^2+xy^4-xy^6+ … +((-1)^n)xy^(2n) + …

この回答への補足

cos（x/(1+y^2）)だとしたらどうすればいいですか？

補足日時：2012/02/04 23:31

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2012/02/04 22:41

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/04 17:32

その関数は、x の関数と y の関数の積で

f(x)g(y) と書けますから、
f, g をそれぞれ級数展開して
(級数)×(級数) の括弧を展開すれば
簡単です。
今回は特に、f(x) = x なので
展開の手間も無いし、
g(y) のマクローリン展開も
公比 -yy の等比級数を考えれば
すぐわかります。

この回答への補足

等比級数ってなんですか？

補足日時：2012/02/04 18:58

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/04 05:55

参考URLで２変数関数のテイラー展開の公式で

f(x,y)=x/(1+y^2)
a=b=0,h=x,k=yとおけばマクローリン展開になります。

f(x,y)= f(0,0)+(1/1!){xf_x(0,0)＋yf_y(0,0)}
+(1/2!){x^2f_xx(0,0)+2xyf_xy(0,0)+y^2f_yy(0,0)}
+ ・・・・・
+(1/(r-1)!){x∂/∂x+y∂/∂y}^(r-1) f(0,0)
+(1/r!){x∂/∂x+y∂/∂y}^r f(θx,θy)
を計算するだけでしょう。

やってみて分からなければ、途中計算を書いて訊いてください。

参考URL：http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/100 …