虚数（i）を含む方程式の問題

（x＋yi)^3＝－１、y>0のとき、実数x、yを求めよ。

ただし、i＝√－1、（虚数単位）とする。



現在、この問題をやっていて、答えは（x、y）＝（1/2、√3/2）とあるのですが、どのようにこの答えを導くかが分かりません。

とりあえず、3乗とあるので、カッコ内を展開してみると、

x^3＋3x^2yi－3xy^2＋y^3i^3＝－1

という感じになりました。（この展開した式も正しいのか自信がありません）

しかし、とりあえず展開はしてみたものの、この先どう解くのかさっぱり見当がつきません。

解き方の分かる方がいましたら、力を貸していただけると嬉しいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2007/07/13 15:16

どんな解き方でも大してて変わり栄えしませんが、ちょっと遊んでみます。

（－１）＾3＝-1であるから、x＋yi＝Ａとすると、Ａ＾3＝（－１）＾3。因数分解すると、（Ａ＋1）（Ａ＾2-Ａ＋1）＝0となる。
従って、Ａ＋1＝0、or、Ａ＾2-Ａ＋1＝0.
ここで、Ａ＝x＋yiをもどしてやり、実数部＝虚数部＝0として、y>0のものを求めると計算が簡単になります。

No.6 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/13 22:43

ANo.4氏の解答はとても良いですね。

結局、方程式 X^3 = -1 を解く際に、解を実部と虚部に分けて考える意味がないことが指摘されていて興味深いです。

# と、人の褌で相撲をとってみる。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2007/07/13 15:58

なんだ、もっと簡単にいくんですね。

前の回答の別解です。


y＞0からＡは虚数。従って、Ａ≠-1。よって、Ａ＾2-Ａ＋1＝0.
これを解くと、x＋yi＝Ａ＝（1±i√3）/2.
y＞0からx＝1/2、y＝√3/2。

No.3 回答者： ujitaka 回答日時： 2007/07/13 11:38

やはり、ｘ＋ｙi＝ｒe＾iθ　とおいて解くのがやりやすいと思います。

３乗した場合-１になっているので、この複素数の絶対値は１でｒ＝１とおけます。e＾i3θ＝cos3θ＋isin3θ＝-１
cos3θ＝-１　sin3θ＝0　より、3θ＝π　　θ＝π／3
ｘ＋ｙi＝cos(π／3)＋isin(π／3)＝1／2　＋　√3／2　i
となります。

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/07/12 23:10

x,yのままで展開して、実部＝-1、虚部＝0として解けますが、

x+yi=r(cosθ+isinθ)と極座標にする方が分かりやすいと思います。
(x+yi)^3=r^3(cos3θ+isin3θ)=-1より、
r=1、3θ=π+2nπ（nは整数）
これから、y=sinθ＞0を満たすようなnを決めればよい。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/12 22:12

>この先どう解くのかさっぱり見当がつきません。

それで行くなら

x, y は実数だから

x^3 - 3x * y^2 = -1
3x^2 * y - y^3 = 0

後者の式から 3x^2 = y^2、( y > 0 より )
これを前者の式に代入すると。。。。(以下略)