No.7ベストアンサー
- 回答日時:
#6 です.訂正&補足します.
まず,#6 の Yg の式は符号が逆でした.m(_ _)m
つまり,
Yg = (1 / (6 * S)) * Σ(i=1,n) (Yi^2 + Yi * Y(i+1) + Y(i+1)^2) * (Xi - X(i+1)).
それから Xg,Yg の式は,次のようにもう少し簡単になります.
Xg = (1 / (6 * S)) * Σ(i=1,n) (Xi + X(i+1)) * (Xi * Y(i+1) - X(i+1) * Yi).
Yg = (1 / (6 * S)) * Σ(i=1,n) (Yi + Y(i+1)) * (Xi * Y(i+1) - X(i+1) * Yi).
テストプログラムを作って計算してみました.実行結果を次に示します.
(1次モーメントとあるのは,Xg * S および Yg * S のことです.)
●正三角形
P[1]:(0, 0)
P[2]:(1, 0)
P[3]:(0.5, 0.866025)
面積:0.433013
1次モーメント:(0.216506, 0.125)
重心:(0.5, 0.288675)
●正方形 (#5 さんの例)
P[1]:(10, 10)
P[2]:(-10, 10)
P[3]:(-10, -10)
P[4]:(10, -10)
面積:400
1次モーメント:(0, 0)
重心:(0, 0)
●十角形 (同じく #5 さんの例)
P[1]:(10, 10)
P[2]:(9, 10.1)
P[3]:(8, 10.2)
P[4]:(7, 10.3)
P[5]:(-7, 10.3)
P[6]:(-8, 10.2)
P[7]:(-9, 10.1)
P[8]:(-10, 10)
P[9]:(-10, -10)
P[10]:(10, -10)
面積:405.1
1次モーメント:(0, 51.72)
重心:(0, 0.127672)
No.6
- 回答日時:
一般の多角形の重心の公式を導いてみました.
多角形の頂点を Pi=(Xi,Yi) (i=1,…,n) とし,また P(n+1)=P1 と定義すると,
・多角形の向き付き面積 (頂点列が左回り順ならば+,右回り順ならば-)
S = (1/2)Σ(i=1,n) (Xi * Y(i+1) - X(i+1) * Yi).
・重心のX座標
Xg = (1 / (6 * S)) * Σ(i=1,n) (Xi^2 + Xi * X(i+1) + X(i+1)^2) * (Y(i+1) - Yi).
・重心のY座標
Yg = (1 / (6 * S)) * Σ(i=1,n) (Yi^2 + Yi * Y(i+1) + Y(i+1)^2) * (X(i+1) - Xi).
一応,検算として,n=3 の場合によく知られた三角形の重心の公式
Xg = (X1 + X2 + X3) / 3
Yg = (Y1 + Y2 + Y3) / 3
になることは確認したつもりです.
どなたか,具体例に当てはめてチェックしていただけるとありがたいです.
(私は公式を導くだけで疲れました.orz)
証明はちょっと面倒で,ベクトル解析の知識が必要です.
(知識のない方は読み飛ばしてください.)
長くなるので概要だけ示します.
まず,一般の図形の図心 (密度一定の場合の重心) の定義は次のように,
図形内部の面積分で定義される.
Xg = ∫X dS / ∫dS.
Yg = ∫Y dS / ∫dS.
上の2つの式の分母はもちろん図形の面積で,
∫dS = ∫Y dX (積分路は右回り)
= -∫Y dX (積分路は左回り)
で求められる.(図を描いてみればすぐにわかります.)
多角形の場合には最初に示したSの式になる.
分子の計算は厄介.分母の場合と同様に,面積分を図形の境界上の線積分に変換するが,
ストークスの定理を用いるため,Z軸を付け加えて3次元で考える.
図形はもちろんXY平面上にあるので,その単位法線ベクトルNは (0, 0, 1).
rot A = (0, 0, X) となるようなベクトルAを考えると,ストークスの定理により
∫X dS = ∫(rot A)・N dS = ∫ A・dL (dL = (dx, dy, dz))
A=(0, X^2/2, 0) とすると rot A=(0, 0, X) なので
∫X dS = ∫ (X^2/2) dy.
これを多角形の場合について計算すると,上記の Xg の式になる.Yg も同様.
重心 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E5%BF%83
ストークスの定理 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88% …
No.5
- 回答日時:
#3さんのようになるのかと思ったのですが、
(10,10)、(-10,10)、(-10,-10)、(10,-10)を頂点とする正方形の重心は(0,0)ですが、(9,10.1)、(8,10.2)、(7,10.3)、(-7,10.3)、(-8,10.2)、(-9,10.1)を加えた10角形の座標を平均して出した点は(0,6.12)となり、重心とは思えません。
No.4
- 回答日時:
4角形の場合、二つの3角形に分けてそれぞれの重心を求めると、その2点を結ぶ線分に4角形の重心があるので、もう一組の分け方で分けた場合の線分との交点が重心になります。
5角形の場合、3角形と4角形に分けてそれぞれの重心を求めると(4角形は上記の方法による)、その2点を結ぶ線分上に重心があるので、別の分け方で同じことをして交点を求めればよい。
6角形は...
のようになり、かなり面倒なことになるのではないかと思います。
No.3
- 回答日時:
頂点座標が全部わかってるなら、重心は簡単です。
x座標、y座標とも平均値をとればいいのです。
x=(全部の点のx座標の和)/(頂点の数)
y=(全部の点のy座標の和)/(頂点の数)
No.2
- 回答日時:
重心ですか.なるほど.
ちなみに多角形は密度一定の剛体ですよね.これは難しい・・・
明解な回答を思いつかなかったですので,詭弁を(笑)
多角形を複数の三角形に分割し,各三角形の重心を計算してから更にその重心を求めるという方法でどうでしょう? ^^
参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/CG/ , http://www.nikonet.or.jp/spring/heso/heso2_1.htm
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 中学校 中1数学 比例のグラフの座標の読み取り 4 2023/03/28 12:26
- 数学 2次関数y=ax^2のグラフは点A(4,2)を通っている。y軸上に点BをAB=OB(Oは原点)となる 1 2022/04/08 00:05
- 数学 数学B 正四面体の第4の頂点 3 2022/06/06 08:40
- 数学 ベクトル方程式(ヘッセの標準形)についての質問 2 2022/04/23 18:00
- 数学 空間ベクトル(重心) 1,2,3/4,5,6/7,8,9 の座標空間上の三角形の重心が 4,5,6に 1 2023/04/09 20:04
- 数学 ベクトルの単元で、 平行四辺形の頂点A、B、Cの座標が与えられて、Dの座標を聞かれる問題がありますが 1 2022/07/04 04:53
- 物理学 角運動量の式変形が分かりません。 4 2022/08/03 21:04
- 数学 点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、B をAB=6となるようにとる。また、 5 2023/08/16 23:32
- 数学 極座標A(2,π/6)となる点を通り、OAに垂直な直線lの曲方程式を求めよ という問題を直交座標を利 1 2022/08/04 17:31
- 物理学 原点中心とする半径10cmの演習上、質点が1分間に600回の割合で反時計回りに運動している。 (1) 4 2023/05/29 12:46
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
座標空間について、点Pの座標を...
-
右下の小さい数字について
-
2点を通る半径rの円の中心の座標
-
「原点に返る」と「原点に戻る...
-
AB=2である2定点A、Bに対して...
-
写真の問題の(2)の別解について...
-
座標のS/I方向について
-
生データーからのグラフから関...
-
この解説の(5)が分かりません...
-
Excelで、任意の座標が属するセ...
-
楕円の角度とは?
-
二次関数の平行移動のマイナス...
-
座標(x,y)間(=2点)の...
-
高校数学 <ベクトルと空間図形>
-
数学の質問です 原点0から出発...
-
数3の曲線の媒介変数って結局何...
-
4次元、5、6、7、8、9次...
-
重分積分の極座標変換について
-
多角形の中心点の座標の求め方
-
数学の問題がわかりません。(球...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
座標(x,y)間(=2点)の...
-
「原点に返る」と「原点に戻る...
-
距離と方向角から座標を求める...
-
右下の小さい数字について
-
なぜベクトルの外積の向きが右...
-
距離、方位角から座標を求める方法
-
重分積分の極座標変換について
-
測量座標と算数座標の違い
-
2022年 東京理科大 難易度判定
-
楕円の円周上の座標を求める計...
-
2次関数y=ax^2のグラフは点A(4,...
-
エクセルでグラフの作り方 軌...
-
N点間の中心と重心の求め方
-
複素数平面と座標平面の対応に...
-
楕円の角度とは?
-
等角螺旋(らせん)の3次元的...
-
「0でない2つのVのベクトルu,v...
-
【数学】 解説の下から4行目が...
-
座標値 世界測地系と日本測地系...
-
座標を入力すると角度を得られ...
おすすめ情報