![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
以下、解析概論(高木貞治)からの引用です。
> "f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことに
> する.すなわちこの定義によれば
> dy=f'(x)・△x. (4)
> 今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'=1だから、
> dx=△x.
> 故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である.これを (4) に代入すれば、
> dy=f'(x)dx (5)
> これを
> dy/dx=f'(x) (6)
> と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、
> dy/dx は商としての意味を有する。"
以上のことは間違いだと思うのですが、どうでしょうか?
dx=△x が成立するのは、 y=x という〔*特殊な函数*の場合〕に限ってのことである。
従って、〔 y=f(x) が *(微分可能な)任意の函数*である場合〕の
dy=f'(x)・△x ----------------------- (4)
に、△x=dx として代入することは許されない(!)。
もしも、そんなことが許されるのであれば、y=x の場合には dy=dx=△x であるのだから、dy=△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、
△x=f'(x)・△x
∴ f'(x)=1
となってしまい、「y=f(x) は*(微分可能な)任意の函数*である」という仮定に反し、不合理である。
よって、(4) でdy を定義してみたところで、それから dy/dx=f'(x) が導けるわけではない。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
別に間違っていないと思いますが。
質問者さんは混乱されているようです。
y=f(x)=xの場合は確かにf'(x)=1となり合っています。
べつに任意の関数に対してf’(x)=1となるわけではありません。
dy=f'(x)・△x に、△x=dx を代入することに疑問をもたれているようですが、y=f(x)によらず、△x=dxは成り立っています。
y=xを、dy=f'(x)・△xに代入して△x=dxが得られますが、
これは常に成り立っているので代入することに問題はありません。
No.4
- 回答日時:
そもそも Δx は y=f(x) とは「無関係」なものですので
f(x) から離れて扱っても問題ないです.
========
名著中の名著なのは間違いないですが
古典なのでその分は割り引きましょう.
この文脈の意図は,微分「係数」という言葉の
直観的な理解が目的なんでしょうね.
#Taylor展開まで理解すれば「係数」なのは
#明確になるでしょう.
現代的な意味で,まじめに「微分」しようと思ったら,
接空間とか外微分とかそういうのをきっちりやらないと
すっきりはしないですし,そうなると微分幾何とか
多様体論の初歩になってしまいます
No.3
- 回答日時:
えっと....
昔ネットニュースで見たネタのような気が.... 次は Δx のネタかなぁ?
閑話休題.
少なくとも, 最後のところは「y = x の場合には」といって導いた結果のはず. つまり, そこでは「y = f(x) が任意の関数」という仮定はされていません. なぜ「y = f(x) は任意の関数」という仮定に反しちゃったかというと, 自分で y = x と限定しちゃったからです.
No.2
- 回答日時:
質問者は混乱されているようであるが、多少面倒であっても、
(4)式の dy=f'(x)Δx を
(4)dy={y=f(x)の時の導関数であるf'(x)}・Δx と書き、
dx=△x を
dx={y=xの時の導関数である1}・△x と書いてみると
dy={y=f(x)の時の導関数であるf'(x)}・Δx
={y=f(x)の時の導関数であるf'(x)}・dx/{y=xの時の導関数である1}
=[{y=f(x)の時の導関数であるf'(x)}/{y=xの時の導関数である1}]・dx
=[f'(x)/1]・dx
=f'(x)dx
となり、混乱を避けることができるのではないだろうか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【全微分について】 z=f(x,y) の全微分は df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy と表 1 2023/02/25 05:49
- 数学 微分(全微分)についての質問です。 2 2022/04/07 17:08
- 数学 (1+x^2)y'=1 の微分で教えて下さい 2 2022/08/30 10:23
- 数学 テイラー展開について r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))を点(x,y,f(x,y) 4 2023/03/08 01:06
- 数学 全微分について質問です。 z=f(x,y)のとき df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy ∂f 5 2023/02/24 05:46
- 数学 「急募!」数学 微分方程式 dy/dx=y+x*y^3 ・・・(1) 但しy(0)=±1をExcel 2 2022/07/20 21:58
- 数学 数学積分の問題です x=a(t+sint) y=a(1-cost) tは0〜π グラフの形は「ハ」を 3 2022/08/27 12:26
- 数学 前にも質問したものでx^3+y^3=1を陰関数を使って、点(1、0)、接線の方程式を求めなさいという 1 2023/07/08 12:17
- 数学 積分計算について {∫[x。→x](x²+y²)^(-1/2)dx}+{∫(1/y)-(x。/(y 1 2022/06/09 03:12
- 数学 dx/dt = |y| , dy/dt = x (-∞<t<∞) をとけ 1 2022/09/17 09:56
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^-2xの積分
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
∮a^xdxこれを公式的に導いてほ...
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
微積分 dの意味
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
解が10になる定積分の問題(難易...
-
不定積分
-
xの関数計数一回線形上微分方程...
-
dy/dx=-x/yの意味が解りません
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
ある積分の問題。∫1/√(x^2+A) =...
-
解析概論(高木貞治)の間違い
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
微積分 dの意味
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
2次微分の変数変換
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
ガンマ関数Γ(x)は、階乗からど...
-
フーリエ変換の問題について
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
(dy/dx)+y=xの微分方程式はどの...
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
-
虚数「i」の無限大への極限
-
微分方程式の解き方
おすすめ情報