dy/dx・dxは置換積分を使ってdy？

次の微分方程式を解け　2yy'=1
とありました。解答は
--------------------------------
2y・dy/dx=1の両辺をｘで微分して
∫2y (dy/dx) dx=∫dx
置換積分法により　∫2y dy=∫dx
ゆえに　y^2=x+C　（Cは任意定数）
--------------------------------
となっています。ここで疑問に思ったのが
”置換積分法により”という箇所です。
これはdy/dx・dxを”約分して”dyにしてはならず、
”置換積分法により”dyにしなくてはならない、
ということが言いたいのだと解釈しました。
疑問１．
そこで、ここにおける”置換積分”とは具体的には
どのような作業を指すのでしょうか？
疑問２．
以下は全て同じことを表現したいと意図している
のですが、誤解を招くことはないでしょうか？
2y・dy/dx・dx　　　
2y (dy/dx)・dx　　
2y dy/dx dx
2ydy/dx dx
2y*dy/dx*dx
2yとdyの間に半角スペースを入れた方がよいか
・と*と半角スペースどれが妥当か
dy/dxは（）でくくるべきか
などなどです。

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/12/03 10:58

そもそも置換積分をご存知ですか？

∫(x^2+x+c)^{100} dx とか計算したことがあれば
ご存知だと思いますが？

置換積分の公式は
高校の教科書風に書くとこんな感じ

∫f(y) dy = ∫f(g(x)) g'(x) dx
ただし，y=g(x)
＃積分区間とかgの条件は省略

これをちょろっと書き換えます．
g'(x) = dy/dx とかけば

∫f(y) dy = ∫f(g(x)) g'(x) dx
= ∫f(y) dy/dx dx

となるので「形式上」ですが約分の形が成り立つのです．
したがって「置換積分より」となります．

きちんと置換積分に言及してる解説は
経験上そんなに多くはありません．
その解説を書いた人はまめというか，
きっちりした方なんでしょうね．
普通は，No.1さんのように
本当は初歩的な段階では「約分」ではないのにも関わらず
形式的に約分をしてしまう解説がほとんどです．
そもそも，dy/dx は定義してても，dyとかdxというものは
定義してないですよね？定義してないものに対して
計算を行うというのは変なんですよ

ただし，No.1さんのような「約分」というのは
実際は，上述のように「置換積分」によって正当化されるので
積分記号のもとではやってしまってかまわないのです．
そして，いちいち積分記号とか書いていると
まどろっこしいので，あとで積分で使うことを前提として
なんだかわかんないけども，dxやdyというものを使って，
さらに積分記号を省いてしまって，「普通に約分」とかして
計算してしまって，それを使うというのが現実的な解法です．

つまりは「表記の問題」にすぎません．
こういうふうに「省略して書く」というのが一般的で，
なおかつ，あまりにうまく機能するので逆にややこしい，
つまり，dxとかdyが普通の数に見えてしまうということです．

これには裏があって，じつは
もっと数学を勉強していくと，積分とかにまったく無関係に
関数 f に対して，df というものがでてきます．
微分形式というのですが，ここまでいくと
約分とか，そもそも``dx''ってなんだ？という問題は
すべて解決されます．
さらにこの微分形式ってものに対して「積分」という演算が
定義されるのですが，それは「普通の積分」とうまく
噛み合うように定義されます．

この回答へのお礼

まず、置換積分というものを勘違いしていました。
自分は ∫x√(x+3)dx というような問題のときに
√(x+3)=t とおく、というようなものを置換積分
だと思っていました。参考書を見直したところ、
確かに2度（2周）通過したはずですが、他の方法（？）
で解けてしまったようで、置換積分についての
理解は無意識に飛ばしていたようです。
つまり今回のミスは、置換積分を理解していた
気になっていたという勘違いからでした。

今、参考書を見ながら考えてみたのですが、
たしかに、当てはめればそうなる。でも、これって
そんなにすごい知識なの？って感じです。イマイチ
この概念の必要性みたいなものが見えてきません。
少し類題解いて考えて見ます。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2006/12/03 17:27

No.1 回答者： akitaken 回答日時： 2006/12/03 04:15

置換積分とかは良く分りませんが、私の使う解法を。

2y・dy/dx=1
両辺にdxをかけて
2y・dy=dx
両辺積分して
∫2ydy=∫dx
y^2+C1=x+C2
よって
y^2=x+C3

この回答へのお礼

＞両辺にdxをかけて
これをしちゃまずいと思ったので質問してみました。
解法は参考にさせていただきます。このように１００％
四則演算が常に通用するならよいのですが。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2006/12/03 05:12