物理なのか、数学なのかという感じなのですが・・・。

まず、grad、div、∇について、分かりやすく教えていただけませんか?。
それから、たとえば、圧力pがあったとして、「grad p」の物理的意味を教えて頂けるとうれしいです。

数学も物理も苦手なので、詳しく分かりやすく教えて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

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A 回答 (3件)

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,


f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる場所から
水平方向に 10km 動いたってあまり気圧は変わりませんが,
空の方向に 10km 動けばエベレスト
(最近は,チョモランマとかサガルマータとか呼ぶかな)
より高くなって,気圧はうんと下がっちゃいます.
で,y,z 方向には全く動かず,x 方向にだけ動いたとします.
このときの p の変化の割合は,偏微分を使って ∂p(x,y,z) / ∂x ですね.
同様に,x,z を固定して y だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂y,
x,y を固定して z だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂z.
つまり,以上の3つの偏微分で変化の様子がわかります.
ばらばらに3つ扱ってもいいですが,
ベクトル表示にして
x 成分が ∂p(x,y,z) / ∂x,
y 成分が ∂p(x,y,z) / ∂y,
z 成分が ∂p(x,y,z) / ∂z,
というベクトルにしたのが grad p です.
ベクトルにしておくと,
表示が簡単なことの他にもいろいろ便利なことがあります.

なお,creol さんの回答ははちょっと混乱されているようです.
p は圧力(の強さ)そのもの,grad p は p の変化の割合です.
その場所での圧力は p です.

div は,creol さんも書かれているように,発散です.
極限値が発散する,などの発散とは全く違いますので,念のため.
例えば,水流中に仮想的な直方体を考えてください.
水流は流れの方向がありますからベクトル量ですね.
で,場所にもよりますから,j(x,y,z) と書きましょう.
テキストファイルじゃうまく書けないですが,j はベクトルです.
この直方体の面を通って単位時間あたりに流れ出ていく水量(流出量)が
本質的に div j です(本当はちょっと修正がいる,後述).
直方体の6面分全部考えてくださいよ.
水量ですから,スカラー量ですね.
え? 流出量ばかりじゃ直方体の中の水がどんどん減っちゃう?
ええ,それでいいんです.
つまり,div j は直方体の中の水量ρ
(スカラー量,本当は密度ですが)
の単位時間あたりの減少分を表しています.
式で書くなら, div j = - ∂ρ / ∂t です.
右辺のマイナスは減少だからついているんです.
ふつうの水流(例えば,川なんか)なら?
div j の計算のときに,流出量をプラスとして考えているので,
入ってくる分(流入量)はマイナスで考えてください.
ごくふつうに川が流れているとき,
上流の方から流入量と,
下流側への流出量は同じですよね.
そうすると,プラマイうち消して,div j = 0,
直方体の中の水量は時間変化しません.

え,直方体の大きさ?
あ,それはですね,十分小さくとってください.
小さくとれば,流入量も流出量も小さくなっちゃう?
実は,正味の流出量を直方体の体積で割って
直方体を小さくした極限が本当の div j です
ρが本当は密度だと言ったのもこういうところと関係があります.

微分で表現すれば
div j(x,y,z)
= ∂jx(x,y,z) / ∂x + ∂jy(x,y,z) / ∂y + ∂jz(x,y,z) / ∂z
です.
jx は j の x 成分,他も同様.


∇の記号は creol さんの書かれているとおり.
読み方は「ナブラ」(nabla) です.
ちょっと変わった名前ですが,
竪琴(形が似ている)のギリシヤ語名から来ています.

grad,div,と並んでベクトル解析でよく出てくるものに
rot (rotation,回転)があります.

わかりやすく,ということで回答してみました.
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この回答へのお礼

お返事が遅くなってしまって、申し訳ありません。
非常に丁寧な御回答ありがとうございます。
私はもともと数学があまり好きではなく、大学の数学も何だかよく分からずに過ぎてきてしまいました。
そのため、式を見てもピンと来ず、概念やイメージなども皆無に近いものがありました。
そんな私でも、すんなりと理解できるような説明をして頂きまして、とても助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/02/09 10:39

???・・・!


答えでは無くて恐縮ですが・・・。
もしや!(-_☆)キラリ
流体力学関係ですか?
エネルギー保存則とか、ナビエ=ストークスの方程式とか?
_
q=λ grad T とか。

ここなんかはどうでしょうか。
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl …
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl …
http://www-kyoryu.scphys.kyoto-u.ac.jp/~toh/koug …
参考にならなかったらすいません。

参考URL:http://www-kyoryu.scphys.kyoto-u.ac.jp/~toh/koug …
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この回答へのお礼

うっ、ばれないように質問をしたつもりだったのですが、専門家には分かってしまうんですね。
まさに、ズバリです。
参考URLを見ながら、勉強します。
お返事が遅くなってしまってすいませんでした。
最後になりましたが、御回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/02/09 10:35

専門家になるかもしれない学生です



物理でもあり数学でもあります。
もとはベクトル計算ですので、まずはベクトルになれた方がいいと思います。
x,y,z方向の単位ベクトルをi,j,kとすると・・・という話です。

gradはgradient 傾きです。何がどう傾いてるのかというと、直線グラフのように考えてください。直線グラフが上向きとか下向きとか、そのとき傾きを考えますよね。
急であるとか、緩やかであるとか。そのような感じです。
ですから、「grad p」はある地点でのpの傾きということになり、意味としては
その点での圧力の強さを表します。プラスかマイナスかによって押されてる力か引っ張られる力か変わります。

divはdivergence、発散という意味で、イメージは発散です。答えになってないですね。divをよく使う学問に電磁気学というのがあります。それらをかじるとイメージしやすいです。

∇は演算子です。計算するときの表記方法で、「grad p」は∇を使って表すと「∇p(pはスカラー)」,「div p」は「∇・p(pはベクトル)」と表せます。


最終的な目的(どこまで分かればよいのか?)が分からないのでこれぐらいでとめときます。分かっていただけたでしょうか。
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この回答へのお礼

返事が遅くなってしまいましたが、回答ありがとうございました。
私自身がよく分かっていない上に、よく分からない質問をしてしまったので、御回答に困られたのではないかと思います。
わたしはもともと化学屋なので、この手の話は困ってしまうんですねぇ。
電磁気学とかも、アレルギーがあって・・・。
あっ、話がそれてしまいました・・・。
いずれにしても、ありがとうございました。

お礼日時:2001/02/09 10:34

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物理のこの問題がわからないので、教えてください‼︎
(3)だけでも教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします‼︎

Aベストアンサー

(1) E = 0となる(x,y)座標 (-6,0)

(2) Ep = 12.6 [N/C] = 12.6[V/m]

(3) 電位が0となるのはx = 0 (0,0)の点

Qgrad(スカラー)はありますが、grad(ベクトル)という量はありうるのでしょうか。

タイトルそのままですが、電位の勾配をとりマイナスをつけたものが電場ベクトルですが、電場ベクトルのgradientをとるということは可能なのでしょうか。また、それはどのような物理的意味になるのでしょうか。

Aベストアンサー

ANo.1には
「さらに先ではテンソルですが今の段階では不要でしょう。」
とありますが、daipotさんの質問はまさに「∇とベクトルのテンソル積」についてお尋ねなのですよね?
つまり

スカラー関数f(x,y,z)
ベクトル値関数E(x,y,z)=( Ex(x,y,z), Ey(x,y,z), Ez(x,y,z) )

に対して
∇f(=grad f)
と同様に
∇E(=grad E)
が定義できるか?その物理的意味は?
と言う問いでよろしいでしょうか?


電磁気学の範囲ですと、

 ∇×(∇×E)
  =∇(∇・E)-(∇・∇)E
  =grad(div E)-△E

という公式がありますが
△Eにかかる△はベクトルラプラシアンと言い
ベクトルに掛かって、値もベクトルなります。
ベクトルラプラシアンの意味は

ベクトルの各成分
 (この場合でしたら
  Ex(x,y,z), Ey(x,y,z), Ez(x,y,z)
  です。)
についてラプラシアンを作用させて
それを並べてベクトルにしたもの、
つまり、

 △E=( △Ex(x,y,z), △Ey(x,y,z), △Ez(x,y,z) )

です。
(ただし、左辺の△はベクトルラプラシアン、右辺の△は通常のラプラシアン。)

同様にベクトルグラジアント(grad E=∇E)
が定義できます。
ベクトルグラジアントの意味は
ベクトルの各成分について勾配をとって
それらを並べて3×3行列(テンソル)
にしたものです。つまり、

 grad E=( grad Ex(x,y,z), grad Ey(x,y,z), grad Ez(x,y,z) )

(ただし、左辺のgradはベクトルグラジアント、右辺のgradは通常のグラジアント。)

ついでに行列(テンソル)Tに作用してベクトルを生成するダイバージェンス
div T
も定義すれば

 ∇×(∇×E)=grad(div E)-div(grad E)

あるいは

 ∇×(∇×E)=∇(∇・E)-∇・(∇E)

と書けます。


と言うわけで、
「∇とベクトルのテンソル積」
は定義できて、意味は上述の通り、
というのが私の答えです。

ベクトルグラジアントは
電磁気学の範囲ですとあまり使い道が無いかもしれませんが
テンソル解析を使う用途(構造力学とか)では
ベクトルグラジアントに相当する
量が頻繁に出てくるのではないでしょうか?

ANo.1には
「さらに先ではテンソルですが今の段階では不要でしょう。」
とありますが、daipotさんの質問はまさに「∇とベクトルのテンソル積」についてお尋ねなのですよね?
つまり

スカラー関数f(x,y,z)
ベクトル値関数E(x,y,z)=( Ex(x,y,z), Ey(x,y,z), Ez(x,y,z) )

に対して
∇f(=grad f)
と同様に
∇E(=grad E)
が定義できるか?その物理的意味は?
と言う問いでよろしいでしょうか?


電磁気学の範囲ですと、

 ∇×(∇×E)
  =∇(∇・E)-(∇・∇)E
  =grad(div E)-△E

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Q高校物理の問題です、教えて頂けないでしょうか

Aが衝突後に滑った距離はいくらか。
VBはいくらか。
お願いいたします。

Aベストアンサー

問題の文章は、できるだけ、テキストで打ち込むようにした方が良いですよ。しかも、できる限りそのまま全て書き、余り省略しない方が良いでしょう。
図は、その部分を写真として添付するのが良いと思います。
 
 
問題を2つに分けてみましょう。
(1)衝突後のBの運動から、VBを求める。
(2)A,Bの衝突の後のAの速度を求める。(この際に、(1)の結果を用います)
(2')(2)から求めたAの速さを元に、Aが滑る距離を求める。((1)で用いた解法で求めるのが自然な解法となるでしょう)
 
A,Bの質量をmとしておきます。
(蛇足ですが、mの値がいくらであっても、答には関係ないことは以下を読めばわかるでしょう。一般的に、その値がいくらであっても、答に関係しない量は、問題で与えないことが良くあります。ですから、問題文に書かれていない量を用いても良いのだろうか、などと悩む必要はありません。適当な量を設定して考えれば良いのです。正しい道筋に沿って解いていけば、必ず、その物理量は答には含まれてこないようにできるのです)
 
(1)動きだしたBに生じる加速度(動摩擦力によって生じます)をαとします。
Bの運動方向の運動方程式を立てると
(問題文に添付されている図で、Bが進んで行く右上方向を正の向きとして) 
 m・α=-mg・μ'
より
 α=-μ'・g
となり、これは定数ですから、等加速度運動することがわかります。
また、言うまでもないですが、Bの運動は一直線上での運動になることは明らかですから、その運動は「等加速度直線運動」となります。そこで、等加速度直線運動の公式(変位と速度の変化との関係の公式)
 v^2-v0^2=2・α・s
を適用できて
 0-VB^2=2・(-μ'・g)・D
が成り立っていることがわかります。
∴ VBの大きさ=…
 
なお、「物体が受けた力がした仕事の総和=運動エネルギーの変化」の関係から解くこともできます。
動摩擦力(大きさがμ'・mg)は、常に、Bの速度の向き(移動していく方向)と正反対向きに働きますから、その仕事Wは
 W=(μ'・mg)・D・(cos(180°))
 =-(μ'・mg)・D
です。また、Bにはこの他に、重力や垂直抗力も働いていますが、これらは進行方向と常に直交する方向に働く力なので、その仕事は0です。
∴Bに働く力がした仕事の総和=-(μ'・mg)・D+0=-(μ'・mg)・D
 
Bの運動エネルギーは、衝突直後で
 K=(1/2)・m・VB^2
静止したときには
 K'=0
ですから、その変化=K'-K
 =0-(1/2)・m・VB^2
 =-(1/2)・m・VB^2
 
以上のことを、「物体が受けた仕事の総量=運動エネルギーの変化量」という関係式にあてはめると
 -(μ'・mg)・D=-(1/2)・m・VB^2
∴VBの大きさ=…
となり、先ほどと同じ結果となります。
 
(2)A,Bの完全弾性衝突を考えます。
衝突の瞬間、A,Bには、互いに相手を押す力が働きますが、この力は「作用反作用の関係」にある2力ですから、その力がどんな向きで,いくらの大きさであったとしても、運動量は保存されています。そこで、運動量保存則を利用して、衝突後のAの速度を求めてみましょう。
運動は平面上での運動なので、次のように、x,y軸を設定して、各軸方向について、運動量保存則を適用します。
V0の方向をx軸の正の方向に、衝突後Bが進んで行く方向を、x軸の正の方向からy軸の正の方向にθ回転した方向となるようにy軸の正の方向を、定めます。
(要は、問題図の右方向をx軸に,上方向をy軸に取るのです。)
 
衝突直後のAの、x軸方向の速度をu,y軸方向の速度をwとしてみましょう。
 
x軸方向について、運動量保存則を適用すると
 m・V0=m・u+m・VB・cosθ
∴u=…
y軸方向について、運動量保存則を適用すると
 0=m・w+m・VB・sinθ
∴w=…
(どちらについても、VBには、(1)の結果をあてはめて計算します)
 
両値を用いて、衝突後のAの速さVを表すと
 V=√(u^2+w^2)=…
 
(2')
次に(1)の解法をそのまま用いて、Aが進んだ距離sを求めることができます。同じ遣り方なので、省略します。(加速度運動として解くか、エネルギー変化の問題として解くか、いずれの解法も適用可能です)
初速度の大きさ=V,最終的には速度0となって静止。Aが受ける加速度は、(1)のαと同じ大きさです。

(おまけ)滑走距離を求める問題を、エネルギーの変化の問題として眺めてみると、衝突後、一定の加速度を受けて減速して止まるまでの距離を求めると、その滑走距離は、初速度(衝突直後の速度)の大きさの2乗に比例することがわかります。
 -(μ'・mg)・D=-(1/2)・m・VB^2
∴D=(1/(2・μ'・g))・VB^2
ここで、(1/(2・μ'・g))は定数なので、適当な定数kに置き換えて書くと
 D=k・VB^2
となり、「滑走距離Dは、VBの2乗に比例する」と言えます。
 
これを利用すると、VとVBとの比を用いて、比例式として解くこともできそうです。
 (V/VB)^2=s/D
∴s=…

問題の文章は、できるだけ、テキストで打ち込むようにした方が良いですよ。しかも、できる限りそのまま全て書き、余り省略しない方が良いでしょう。
図は、その部分を写真として添付するのが良いと思います。
 
 
問題を2つに分けてみましょう。
(1)衝突後のBの運動から、VBを求める。
(2)A,Bの衝突の後のAの速度を求める。(この際に、(1)の結果を用います)
(2')(2)から求めたAの速さを元に、Aが滑る距離を求める。((1)で用いた解法で求めるのが自然な解法となるでしょう)
 
A,Bの質量をmとしてお...続きを読む

Q物理学について質問が有りますが、回答して頂けますか?宜しくお願いします。

問題:「次の2つのうち、正しい選択肢を全て選んで下さい。ただし、全て間違いの場合はfと書いて下さい。」
1.管 楽器は管の振動で音が出る。
2.物体に外部から振動を与えると、常に共鳴を起こす。

Aベストアンサー

全て間違いの「f」。

1.管楽器は、管自体振動しません。管の中の空気が振動するのです。

2.共鳴とは、振動する物体の振動が空気を介し別の物体伝わって、その物体(音叉・梵鐘など)が唸り出す現象です。
常に、共鳴が起こる訳ではなく、物体固有の振動数と空気の振動数が一致した時に発生します。

Q高校物理の質問です。 6の(2)の問題の解き方が分からないので、分かりやすく教えて頂けないでしょうか

高校物理の質問です。
6の(2)の問題の解き方が分からないので、分かりやすく教えて頂けないでしょうか。宜しくお願いしますm(._.)m

Aベストアンサー

(1)は分かるのですか? どういう理由でそうなりますか?
これが分かるということは、「ワット(W)」の意味が分かるということですね?
ということは、電球A、Bの電流と、抵抗値も分かるということですよね。
だったら、(2)もわかるはず。

オームの法則から各々の「抵抗」と「電圧」と「電流」を求めて、
  電力=電圧 × 電流
で電力を求めればよいのです。

電球A:60W
 100V で 0.6A の電流が流れる。従って、抵抗は約 167 Ω。

電球B:40W
 100V で 0.4A の電流が流れる。従って、抵抗は 250 Ω。

直列接続すると合成抵抗は
 167 + 250 = 417 (Ω)
これに 100V の電源をつなげると、流れる電流は
 100(V) / 417(Ω) ≒ 0.24 (A)

従って、
電球Aの電圧:167(Ω) × 0.24(A) ≒ 40 (V)
 よって電球Aの電力:40(V) × 0.24(A) = 9.6(W)

電球Bの電圧:250(Ω) × 0.24(A) = 60 (V)
 よって電球Bの電力:60(V) × 0.24(A) = 14.4(W) = 14 (W)
(最後は、「有効数字が2桁」なので、3桁目を四捨五入して2桁にした)

明るさは「消費電力」に比例するので、電球Bの方が明るい。

(1)は分かるのですか? どういう理由でそうなりますか?
これが分かるということは、「ワット(W)」の意味が分かるということですね?
ということは、電球A、Bの電流と、抵抗値も分かるということですよね。
だったら、(2)もわかるはず。

オームの法則から各々の「抵抗」と「電圧」と「電流」を求めて、
  電力=電圧 × 電流
で電力を求めればよいのです。

電球A:60W
 100V で 0.6A の電流が流れる。従って、抵抗は約 167 Ω。

電球B:40W
 100V で 0.4A の電流が流れる。従って、抵抗は 250 Ω。

直列接...続きを読む


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