Taylor展開の近似

taylor展開の近似においてsin(1)の値を求めることを考えたとき、
小数点以下10桁まで正確に求めるためには何次の多項式で近似を行えばいいでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： PAM123 回答日時： 2007/04/16 23:57

SinXをTaylor展開すると、

SinX=X-(X^3)/3!+(X^5)/5!-(X^7)/7!+ ・・・
ですので、
Sin(1)=1-1/3!+1/5!-1/7!+1/9!-1/11!+1/13!-1/14!+・・・
小数点以下10桁すなわち10の-10乗オーダーまでもとめればいい。
1/13!=1.61・・・10^(-10)
1/15!=7.65・・・10^(-13)
1/17!=1/15!*1/(17*16) =1/15!より2桁以上小。
以降の項はかならず、前の項の100分の１以下となる。

なので15次以降の項は、全部足し合わせても
10の-13乗以下の寄与しかしない。
したがって1/13!まで（13次まで）の近似をすればよい。

以上でどうでしょうか？

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/04/17 01:32

(n+1)階微分可能な場合の n 次多項式による Taylor 展開の公式は既にその誤差を (n+1)階導関数を用いて評価しているので、あれこれ悩むことなく

sin x = Σ_{k=1}^n (1/k！）f^(k)(0)x^k + (1/(n+1)！)f^(n+1)(θ)x^(n+1)
f^(k) = ±sin x または ±cos x だから誤差は 1/(n+1)！以下。

おわり。

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2007/04/17 01:04

1/01!＝1.00000 00000 00

1/02!＝0.50000 00000 00
1/03!＝0.16666 66666 66・・
1/04!＝0.04166 66666 66・・
1/05!＝0.00833 33333 33・・
1/06!＝0.00138 88888 88・・
1/07!＝0.00019 84126 98・・
1/08!＝0.00002 48015 87・・
1/09!＝0.00000 27557 31・・
1/10!＝0.00000 02755 73・・
1/11!＝0.00000 00250 52・・
1/12!＝0.00000 00020 87・・
1/13!＝0.00000 00001 60・・
1/14!＝0.00000 00000 11・・
1/15!＝0.00000 00000 00・・

1/1!-1/3!＋1/5!-1/7!＋1/9!-1/11!＋1/13!-1/15!
＜sin1＜1/1!-1/3!＋1/5!-1/7!＋1/9!-1/11!＋1/13!
＜1
　　＋0.00833 33333 33＋0.00000 00000 01
　　＋0.00000 27557 31＋0.00000 00000 01
　　＋0.00000 00001 60＋0.00000 00000 01
-0.16666 66666 66
-0.00019 84126 98
-0.00000 00250 52

＝1.008336089224-0.166865104416＋0.00000 00000 03
＝0.84147 09848 08＋0.00000 00000 03

1/1!-1/3!＋1/5!-1/7!＋1/9!-1/11!＋1/13!-1/15!
＞1
　　＋0.00833 33333 33
　　＋0.00000 27557 31
　　＋0.00000 00001 60
-0.16666 66666 66 -0.00000 00000 01
-0.00019 84126 98 -0.00000 00000 01
-0.00000 00250 52 -0.00000 00000 01
-0.00000 00000 00 -0.00000 00000 01
＝0.84147 09848 08-0.00000 00000 04

0.84147 09848 04＜sin1＜0.84147 09848 11
sin1＝0.84147 09848・・・

No.1 回答者： inara 回答日時： 2007/04/16 23:19

sin(x)をTaylor展開する場合、x = 0 の周りで展開すると

sin(x) = Σ[m=0,∞](-1)^m*x^(2*m+1)/(2*m+1)! --- (1)
となりますが、x = 0 の周りで展開した場合でいいのでしょうか？

sin(1)の厳密値を100桁精度で計算すると、sin(1) = 0.8414709848078965066525023216302989996225630607983710656727517099919104043912396689486397435430526958
ですが、式(1)の和を n 項で打ち切ったときの値は
sin(n,x) = Σ[m=0,n](-1)^m*x^(2*m+1)/(2*m+1)! となります。x = 1のとき、厳密値との差 sin(n,1) - sin(1) は、
n = 1 のとき、 8.14e-3
n = 2 のとき、-1.96e-4
n = 3 のとき、 2.73e-5
n = 4 のとき、-2.49e-6
n = 5 のとき、-1.60e-8
n = 6 のとき、-7.62e-11
ですので、n = 6 なら、小数点以下10桁まで正確です。