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子どもの問題集でわからないと子どもに質問されたのですが
不等式5(x-1)<2(2x+a)を満たすXのうちで最大の整数が6であるとき、定数aの値の範囲を求めるという問題で
解答は5X-5<4X+2を移項し
X<2a+5
最大の整数が6である条件は6<2a+5=<7から1<2a=<2
よって1/2<a=<1となっています。
なぜ7という数値がでてくるのかまた7には=が含まれるのかがわかりません。
6<2a+5より 1/2<aなら理解できるのですが。
問題と解答が誤っているのではと思いますが。
問題集が間違うことも考えられないので、私の整数に関する知識不足また不等式が理解できていないのかと思い質問させていただきました。
A 回答 (7件)
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No.7
- 回答日時:
> =<なら私の文系の頭では最大の整数が7と問題に示されるべきだと考えてしまいます。
混乱されているのは、Xについて考えているのか2a+5について考えているのかを混同してしまうためだと思います。
2a+5だとややこしいので#5と同じように「X<B」として説明します。
求めるのはXが取り得る範囲ではなくBが取り得る範囲です(混乱されているのはこの点だと思います)。
B=7の時「X<B」を満たすXは7になれません。B=7はOKなのです。
実際にBに7を入れて「X<7を満たすXのうちで最大の整数はなにか?」と考えれば、「6」という答えになることがわかると思います(7ではX<7を満たしません)。慣れるまでは実際に代入してみるのがよいと思います。
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No.6
- 回答日時:
x = 6のときは不等式の範囲に含まれるが、
x = 7のときは含まれないので、それを制限する必要があります。
私の場合、問題集の解説とは少し違う解き方になりますが、
(1)x = 6ならば、5(x-1) < 2(2x+a)が成立する。
(2)x = 7ならば、5(x-1) < 2(2x+a)が成立しない。
すなわち、
x = 7ならば、5(x-1)≦ 2(2x+a)が成立する。
以上により、
(1)を満たすには、
x = 6を不等式に代入してaの範囲を求めれば、
5(x-1) < 2(2x+a)
65(6-1) < 2(2*6+a)
25 < 24 + 2a
1 > 2a
1/2 > a
次に、(2)を満たすには、
x = 7を不等式に代入してaの範囲を求めれば、
5(x-1) ≧ 2(2x+a)
5(7-1) ≧ 2(2*7+a)
30 ≧ 28 + 2a
2 ≧ 2a
1 ≧ a
となります。
以上により、1/2 < a ≦ 1 になります。
>なぜ7という数値がでてくるのかまた7には=が含まれるのかがわかりません。
6<2a+5より 1/2<aなら理解できるのですが。
問題と解答が誤っているのではと思いますが。
最大の整数6が不等式に含まれるという事は、
言い換えれば、整数6は含まれるが、整数7は含まれない
という事です。
よって、
上記と同様に、
x = 6ならば、 x < 2a+5
x = 7ならば、 x ≧ 2a+5 (x < 2a+5を満たさないという事は
x ≦ 2a+5となる。xは2a+5未満ではない=xは2a+5以上である)
これらにより、6 < 2a + 5 かつ 7 ≧ 2a + 5より、
1/2 < a ≦ 1ですね..。これは問題集の解説で説明している
解き方ですね..。
No.5
- 回答日時:
X<2a+5で考えるとわかりにくければ、
X<Bを満たすXのうちで最大の整数が6になるのはBがいくつの場合かを、Bに具体的な数字を入れて考えてみてください。
B=6つまり、X<6では6は含まれなくなってしまいますから、Bは6よりも大きい、つまり6<Bです。これを考えるとき具体的に「X<6」として考えるとすぐわかると思います。
次に、Bはどこまで大きくなれるかを考えると、「6.いくつ」なら最大の整数は6ですからOKです。7の場合はどうでしょうか。B=7なら、つまり、X<7なら最大の整数は6ですからOKです。しかし、7をちょっとでも超えると最大の整数は7になってしまってダメです。従ってX<7まで、つまりB≦7です。
合わせて6<B≦7ということになります。
この問題ではB=2a+5ですから、6<2a+5≦7となり、これを解いて答えとなります。
丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の<7は7より小さいという意味での最大の整数6はわかりますがイコールがついて=7の場合最大の整数は7という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、=<なら私の文系の頭では最大の整数が7と問題に示されるべきだと考えてしまいます。
No.4
- 回答日時:
最大の整数が6である点がポイントです。
式が成立する最大の整数が6なのだから、7では、式が成立しないとの条件がかくれているのです。
つまり、X=7の場合は、
5(X-1)< 2(2X+a)の式は成立しないで、
5(X-1)>=2(2X+a)が成立します。
これを解くと、a<=1の条件が求められます。
丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の<7は7より小さいという意味での最大の整数6はわかりますがイコールがついて=7の場合最大の整数は7という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、=<なら私の文系の頭では最大の整数が7と問題に示されるべきだと考えてしまいます。
No.3
- 回答日時:
>最大の整数が6である条件
を不等式で表すと x<7 の整数
これと、 x<2a+5
の、連立不等方程式を考える。
x<8 では、最大の整数が 7になってしまう。
よって、少なくとも 2a+5<8 であってはならない。
つまり、 2a+5=7 か 2a+5<7 で有る事
それを同時に満たす表記をすれば、 2a+5=<7
丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の<7は7より小さいという意味での最大の整数6はわかりますがイコールがついて=7の場合最大の整数は7という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、=<なら私の文系の頭では最大の整数が7と問題に示されるべきだと考えてしまいます。
No.2
- 回答日時:
X<2a+5
であってますね。
ここでXは少なくとも次を満たしています。
-∞≦X<7 ・・・(1)
なぜかというと、そこから最大の整数と探してみてください。
X=6
が最大ですね。
そして次に(1)の7の部分をBに仕立てます。
X<B ・・・(2)
とします。このとき
B=2a+5
ですね。(1)と(2)を見比べてみると
B=7
が分かります。
これでもbluberryさんには少し疑問が残ると思います。
慎重に少しずつ置き換えたり、イメージを紙に起こして慣れていけばこの手の問題に対処出来るようになります。
丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の<7は7より小さいという意味での最大の整数6はわかりますがイコールがついて=7の場合最大の整数は7という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、=<なら私の文系の頭では最大の整数が7と問題に示されるべきだと考えてしまいます。
No.1
- 回答日時:
数学的ではありませんが、仮にa=1.00001とすると、X<2a+5がX<7.00002となるので、これを満たす整数Xの最大値は7となってしまいます。
したがって2a+5=<7の条件も必要なのです。また、a=1ということは、X<2a+5がX<7ということですよね。
つまり「Xは7より小さければいい」となります。この条件を満たす整数Xの最大値は6なので題意にあっています。
ですから=は必要です。
丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の<7は7より小さいという意味での最大の整数6はわかりますがイコールがついて=7の場合最大の整数は7という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、=<なら私の文系の頭では最大の整数が7と問題に示されるべきだと考えてしまいます。
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