確率～事象の独立に関する問題

事象の独立を調べる問題です。

1から600までの整数から1つの数を選ぶとき、
それが偶数である事象をＡ。
3の倍数である事象をＢとする。
ＡとＢは互いに独立であるといってよいか？

上の問題は、自力で解くことができました。
　↓
　P(A)=300/600=1/2
　P(B)=200/600=1/3
　P(A∩B)=100/600=P(A)P(B)
　∴AとBは独立である

この問題で条件が、「1から400までの整数」となった場合、
どのように計算をすればよいでしょうか？
前者と同じように計算をしようとすると、
P(B)を求める段階で上手くいきません（確率が分かりません）。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2007/06/02 22:16

考え方が全く違うのでは？

偶数（２の倍数）であることと３の倍数であることとは、範囲が１～６００であれ、１～４００であれ、常に独立です。
偶数である場合は、偶数でない場合に比べて、３の倍数である確率が上がるわけでもなし、
３の倍数である場合は、３の倍数でない場合に比べて、偶数である確率が高いわけでもないです。
ですから、互いに独立です。

独立でない場合の例を挙げますと、
・偶数であることと、４の倍数であること
・１２の倍数であることと、１８の倍数であること
などです。

ある整数が１２の倍数であるとき、その整数は１８の倍数である可能性が高くなりますし、
ある整数が４の倍数であるとき、その整数が偶数である確率は１００％になります。
これらの場合は独立でありません。

この回答への補足

回答ありがとうございました。
よく理解することができました。

補足日時：2007/06/05 13:27

この回答へのお礼

お礼を補足の場所にしてしまいました。ごめんなさい。

お礼日時：2007/06/05 13:28

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/02 23:05

>考え方が全く違うのでは？

あってると思う。

独立性の定義は P(A∩B) = P(A)P(B) なのだから、それを確かめることが独立性を証明する唯一の手段です。

計算すればわかるけど、1～400までの間にある「3 の倍数」「3で割って 1余る数」、「3で割って2余る数」は平等には含まれておらず、偶数であることの事象と独立ではありません。

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (66/400)/(133/400) = 0.496... と僅かに減っています。

これは 1 から 400 までの間に
「3の倍数が 133個」
「3で割って 1余る数が 134個」
「3で割って2余る数が 133個」
となっていることを反映しています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
よく理解することができました。

お礼日時：2007/06/05 13:27

No.1 回答者： NNori 回答日時： 2007/06/02 22:11

１から４００までに３の倍数は何個ありますか？

400/3＝133あまり１　すなわち１３３個ありますね。
ですので
P(B)=133/400
です。

じゃ、あとは頑張って！！

この回答へのお礼

ヒント、ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時：2007/06/05 13:29