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n 種のものから、重複 (repetition) を許して r 個のものを取り出す組合せというものを考えて、n から r とる重複組合せと呼び、その総数を H[n,r] と表す。
H[n,r]=C[n+r-1,r]
ここまでは分かりますが、次の性質が分かりません。
どなたか説明をいただけないでしょうか?
(1 + x + x^2 + x^3 + … )^nのx^rの係数は
C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
= C[n+r+1,r]
= H[n,r]
となる。すなわち、
(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
= H[n,0] + H[n,1]x + H[n,2]x^2 + H[n,3]x^3 + …
また、
H[n,r]=(-1)^r C[-n,r]
は多重集合係数あるいは負の二項係数とも呼ばれ、
(1-x)^(-n) = Σ[r=0,∞]H[n,r]x^r
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>次の性質が分かりません。
どの「等式」がわからないか補足せよ。
この回答への補足
(1 + x + x^2 + x^3 + … )^nのx^rの係数は
C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
がわかりません。すみません。
あるところからもってきた話題なのですが、
質問に不備がありましたようで、貴重なお時間をとらせてしまったことをお詫びいたします。
お詫びに考えた結果を書きます。
(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
= (1+x+x^2+…)(1+x+x^2+…)…(1+x+x^2+…) (n個の積)
x^rは、n個の因数から重複を許してr個を選び、
もしも3個を重複していれば、その因数のなかのx^3をとることで、
それらのxをかけて得られるから、x^rの係数は、H[n,r]
改めて、1つ目の因数からx^a[1]、2つ目の因数からx^a[2]、、、
を持ってきて掛け合わせてx^rになったと考えると、
x^r=x^a[1]*x^a[2]*…*x^a[n]
(a[k]は0以上r以下の整数)
⇔r = a[1] + a[2] + … + a[n]
これを満たす0以上の整数の組(a[1],a[2],…,a[n])の個数を求める。
○○○○○○…○○
という具合に○をr個並べて、両端もしくは隙間に | をn-1個入れ、
|にはさまれた○の個数を左から、a[1]個、a[2]個、、、とする。
これはC[n+r-1,r]通り、すなわちH[n,r]通りです
No.2
- 回答日時:
未完成回答です。
>C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
> = C[n+r+1,r]
ここのつながりはいいんだけど
> = C[n+r+1,r]
> = H[n,r]
ここが変です。
>H[n,r]=C[n+r-1,r]
と矛盾してますし。
その一方で、
>(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
> = H[n,0] + H[n,1]x + H[n,2]x^2 + H[n,3]x^3 + …
は合っていそうです。
でも結局、
>C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
に相当する正しい式が出てくるので、その説明をしなければいけないのですが、できませんでした m(__)m
>(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
> = H[n,0] + H[n,1]x + H[n,2]x^2 + H[n,3]x^3 + …
を直接、証明できるので、どうもモチベーションが上がりません。これを直接証明して、そこから逆回しで
>C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
に相当する正しい式を導くっていうのはダメですか?
この回答への補足
あるところからもってきた話題なのですが、
質問に不備がありましたようで、貴重なお時間をとらせてしまったことをお詫びいたします。
お詫びに考えた結果を書きます。
(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
= (1+x+x^2+…)(1+x+x^2+…)…(1+x+x^2+…) (n個の積)
x^rは、n個の因数から重複を許してr個を選び、
もしも3個を重複していれば、その因数のなかのx^3をとることで、
それらのxをかけて得られるから、x^rの係数は、H[n,r]
改めて、1つ目の因数からx^a[1]、2つ目の因数からx^a[2]、、、
を持ってきて掛け合わせてx^rになったと考えると、
x^r=x^a[1]*x^a[2]*…*x^a[n]
(a[k]は0以上r以下の整数)
⇔r = a[1] + a[2] + … + a[n]
これを満たす0以上の整数の組(a[1],a[2],…,a[n])の個数を求める。
○○○○○○…○○
という具合に○をr個並べて、両端もしくは隙間に | をn-1個入れ、
|にはさまれた○の個数を左から、a[1]個、a[2]個、、、とする。
これはC[n+r-1,r]通り、すなわちH[n,r]通りです
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