二項定理の拡張・変形

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85% …
を元に、二項定理の拡張・変形について考えています。
nが自然数のとき、
(x+y)^n=Σ[k=0,n]C(n,k)(x^k)(y^(n-k))
が普通の二項定理です。

αを実数として、|x|<1のとき、
(1+x)^α=Σ[k=0,∞]C(α,k)x^k
はニュートンが考えたといわれています。

特別な場合として、負のベキは、
1/(1-x)^n=Σ[k=0,∞]H(n,k)x^k
と重複組合せを用いて表されます。

また、項を増やした、
(x[1]+x[2]+…+x[k])^n=Σ[p∈N^k,|p|=n]C(n,p)x^p
は多項定理といわれています。

指数のほうを和にすると、
x^(n+m)=x^n x^m
指数法則です。

で、x、yをいじくって、
Π[k=1,2]{cos(θk)+isin(θk)}
={cos(θ1)+isin(θ1)}{cos(θ2)+isin(θ2)}
={cos(θ1)cos(θ2)-sin(θ1)sin(θ2)}+i{sin(θ1)cos(θ2)+cos(θ1)sin(θ2)}
といったものを考えると２つの文字の加法定理です。
n個の文字の加法定理をうまく記述するにはどうしたらよいのでしょうか？

Π[k=1,n]{cos(θk)+isin(θk)}

または
Π[k=1,n]{x[k]+y[k]}
の展開ををうまく記述するにはどうしたらよいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/07/03 21:24

「うまく記述する」の意味にもよるんだけど....

例えば,
Π(k: 1～n) (x[k] + y[k]) = Σ(S ⊂ { 1, 2, ..., n}) (Π(k in S) x[k]) (Π(k not in S) y[k])
と書いたのが「うまく記述する」の概念に合致しているかどうか.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
たとえば、sin関数において、
無限積表示
sin x = x(1 - x^2/π^2)(1 - x^2/(2π)^2) (1 - x^2/(3π)^2) …
の展開はうまくできるので、テイラー展開との比較で、
いわばゼータ関数の特殊値がわかります。

この種の議論をもっと一般化できないだろうか、と考えた次第です。

お礼日時：2007/07/03 23:04