三角形の面積の問題

　∠XOY＝30゜の内部に点Pをとる。辺OX、OYを対象軸として点Pを対称移動した点をそれぞれQ、Rとする。OP＝4cmであるとすると、△OQRの面積はいくらか。


現在、上記の問題を勉強しているのですが、解き方が分からなくて悩んでいます。答えは「4√3cm^2」とあるのですが、答えの導き方がわかりません。辺OQと辺ORが4cmで同じ長さであることと、30゜という角度がポイントになってくるような気はするのですが、どういった定理や公式などを使って解くのか自分ひとりの力では分かりませんでした。

図がないので分かりづらいとは思いますが、分かる方がいましたら、力を貸していただけないでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： kaaaiii 回答日時： 2007/07/04 21:47

対称より、∠XOQ=∠XOP、∠YOP=∠YOR。

よって、∠XOQ+∠YOR=∠XOP+∠YOP=∠XOY＝30゜
なので、∠QOR=∠XOP+∠YOP+∠XOQ+∠YOR=60°
ここで、対称より、OP=OQ、OP=ORより、OQ=OR
より、△OQRは二等辺三角形より、∠OQR=∠ORQ
また、∠QOR=60°より、∠OQR+∠ORQ=(180-60)°=120°
よって、∠OQR=∠ORQ=60°になるので、△OQRは正三角形だと分かった。
よって、正三角形の面積の公式（√3/4×(１辺の長さ)^2)より、√3/4×4^2=4√3

この回答へのお礼

詳しい解説、ありがとうございました。

お礼日時：2007/07/04 23:35

No.5 回答者： neKo_deux 回答日時： 2007/07/04 22:08

問題の性質からして、点Ｐは下記の条件を満たせばどこでも良い事になります。

> ∠XOY＝30゜の内部に点P
> OP＝4cmである

計算の都合の良い、OX上に取ると良いかと。

O:(0,0)
P:(4,0)
OX:ｘ軸
OY:原点Oを通り、傾きが30度の線分。
Q:Pが辺OX上なので、対象移動してもそのままの位置、(4,0)
R:図を描くとすぐにわかります。
　傾き60度で原点から4の位置。
　しかも、底辺OQが分かっているのですから、高ささえ分かれば面積は求まります。

No.3 回答者： debut 回答日時： 2007/07/04 21:37

対称な点なので、∠ＰＯＸ＝∠ＱＯＸ、∠ＰＯＹ＝∠ＲＯＹ

です。
だから∠ＱＯＲ＝∠ＱＯＸ＋∠ＰＯＸ＋∠ＰＯＹ＋∠ＲＯＹ
　　　　　　　＝２∠ＰＯＸ＋２ＰＯＹ
　　　　　　　＝２∠ＸＯＹ
　　　　　　　＝60°
また、ＯＱ＝ＯＲ＝ＯＰ＝４cm。
あとは、面積の公式で・・

No.2 回答者： edomin2004 回答日時： 2007/07/04 21:33

∠ＱＯＲが何度になるか判りますか？

∠ＸＯＰ＋∠ＹＯＰ＝∠ＸＯＹ
∠ＸＯＰ＝∠ＸＯＱ
∠ＹＯＰ＝∠ＹＯＲ
なので、
∠ＱＯＲ＝６０°
辺ＯＱ=辺ＯＲ=４cmなら、正三角形でしょう。
後は、ご自分でどうぞ。

この回答へのお礼

なるほど、正三角形になるのですね。回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/07/04 23:37

No.1 回答者： redowl 回答日時： 2007/07/04 21:31

　∠QOR＝60゜