毎々お世話になっております.
このたびは,2変数の確率変数の変換について質問させていただきます.
[問]
X1およびX2はi.i.d.でそれぞれ[0,1]の区間で一様に分布している.
Y=X1+X2の確率密度関数を求めなさい.
上記の問いに関してですが,
X1,X2の密度関数はf(xi)=1 for 0<=Xi<=1 i=1,2 であり,
同時確率はf(x1,x2)=1 for 0<=x<=1 であるというところまでは分かりました.
また,X1=Y-Z,X2=Zとすることで,ヤコビヤンJ=1であるというとろこまではできました.
しかし,これ以降,どのように考えれば良いのかが分かりません.
直感的に,X1とX2が一様に分布しているために,Y=X1+X2は0<=y<=2の範囲に分布し,
y=1のときにg(y)が最大になるのであろうと考えられ,
g(y)=y for 0<=y<=1 g(y)=2-y for 1<y<=2 1という確率密度関数になるであろうことは分かります.
このような考え方が正しいかどうかも含めて,この問題の解法をご教示いただけないでしょうか?
何卒よろしくお願いいたします.
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
X1とX2の密度をp(x)とする
X1とX2が独立だから
(X1,X2)の密度はp(x1)・p(x2)となる
よってZ=X1+X2の分布は
F(z)=∫∫[x1+x2<z]dx1dx2・p(x1)・p(x2)
よってZ=X1+X2の密度はF'(z)である
F'(z)を求めて補足にかけ
なおδ関数を知っていればh(x)をヘビサイド関数として
F(z)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-x1-x2)
をzで微分すればよいのだから解は瞬時に求まる
お礼が遅くなり申し訳ございませんでした.
ご教示いただいた方法とは別の解法ですが,
無事に答えを求めることができました.
ご回答いただいた内容に関しては,
ヘビサイド関数とは何?という疑問があり,
全然理解できておりません.
万一,今後ヘビサイド関数を使用する機会があれば,
再度この場で質問させていただきます.
その折は,何卒宜しくお願いします.
ご回答いただき誠にありがとうございました.
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