No.2ベストアンサー
- 回答日時:
δ(τ) = lim_[h→0] f(τ)
f(τ) = 1/h ( 0≦τ≦h ), f(τ) = 0 ( h < τ )
ですから、まず δ(τ) の代わりに f(τ) とおいて、積分後に h→0 とすれば良いと思います。
実際計算してみると、 δ(τ) の代わりに f(τ) とおいた場合、定積分は
∫[0,t]{(1/D){1-exp[-(D/M)*(t-τ)]}f(τ)}dτ
= [ 1 - M/D*exp( -D*t/M )*{ exp( D*h/M ) - 1 }/h ]/D --- (1)
となります。h→0 のとき { exp( D*h/M ) - 1 }/h は 0/0 なので、ロピタルの定理
lim_[h→0] F(h)/G(h) = lim_[h→0] F'(h)/G'(h)
を使えば
lim_[h→0] { exp( D*h/M ) - 1 }/h = D/M
したがって式 (1) は h →0 のとき
式(1) → { 1 - M/D*exp( -D*t/M )*D/M }/D
= { 1 - exp( -D*t/M ) }/D --- (2)
一方、g(τ) = (1/D){1-exp[-(D/M)*(t-τ)] とすれば、g(0) = (1/D){1-exp[-(D/M)*t ] } となって、式 (2) と全く同じですから、foobar さんのご指摘通り、∫g(τ)δ(τ)dτ = g(0) が成り立っています。
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