1.x^8+4x^7+10x^6+16x^5+19x^4+16x^3+10x^2+4x+1を整数係数の範囲で因数分解しなさい。
2.(1+x)^nの展開式をc[0]+c[1]x+…+c[n]x^nとするとき、
Σ[k=0→n]{(-1)^k}{c[k]/(k+1)}を求めなさい。
3.数列{a_n}(n=1,2,…)をa_n=Σ[k=1→n]log{1+k/(n^2)}で定めるとき、lim[n→∞]a_nを求めなさい。ただし,対数logの底はeとする。
1番はどうのように手を付けていいのか全く分かりませんが、他の問題は大方アプローチの仕方が分かるのですが解答まで辿りつけません。
どなたかご教授お願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
No.2の者です。
2番ですが、c[n]が二項係数であることはおわかりでしょうか。
c[k] = C[n、k]
= n!/{ k!(n-k)! }
です。
k!×(k+1) = (k+1)!
(n-k)! = {(n+1)-(k+1)}!
です。ここから先はご自分でお考え下さい。
3番ですが、log(1+x)の、0<x<1におけるマクローリン展開が交代級数(正の項と負の項が交互に表れる級数)であることを利用します。その性質を使えば、
x-(x^2)/2 < log(1+x) < x
(xは、0<x<1となるすべての実数x)
となります。これ以上のヒントは出せません。
再度レスありがとうございます。
分からなかった残り2問ですが、漸くできました!
2番は、nC_k+nC_k+1=n+1C_k+1の関係を用いて、余分な項を与えられた展開式を利用し消去すると、正答に辿り着きました。
3番は、はさみうちの定理を用いたらすぐにできました。
さっきの此方の解答手順でも多少厳密性が欠けるかもしれませんが、一応答えはでますよね。
※Σ[k=1→n]k/(n^2)=(1/2)n(n+1)/(n^2)→1/2(n→∞)
ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
>a[n]=c[k]/(k+1)=(2^k)/(k+1)とし、a[n]の漸化式を立てて解いたのですが
繰り返しますが、あなたの「解法」を提示しないとアドバイスのしようがありません。
模範解答だけ聞いても試験には受からんよ。
>x≪1のとき、log(1+x)≒x
>というのを用い、
>lim[n→∞]a_n=Σ[k=1→n]k/(n^2)
>となりますが
議論が飛びすぎです。キチンと収束性を評価して下さい。
>『(答え)1/2』にはならず、0になるような気がするんです。
Σk は n^2/2 のオーダだから、直感的には答えは 1/2 でしょう。
No.2
- 回答日時:
前回の4月検定の1次試験の問題ですね。
私も受けました。ということは明日、受けるのでしょうか。1の問題ですが、係数が左右対称になっていますので、
t = x + 1/x
と置けば、tの4次多項式として因数分解できます。
2は、二項係数の定義を使って、c[k]/(k+1)を少し違う形に変形したあげればわかると思います。
3は、logxのマクローリン展開を使い、ハサミウチの原理を用いて、求めるべき和を上下から評価します。k<nなのでkの値に関わらず、
0 < k/(n^2) < 1
となっているのがポイントです。
この回答への補足
訂正です。
>lim[n→∞]a_n=Σ[k=1→n]k/(n^2)
ではなく、
lim[n→∞]a_n=lim[n→∞]Σ[k=1→n]k/(n^2)
でした。
回答ありがとうございました。
仰る通り明日、リベンジ受験しようと思ってます。
前回、3.5点だったので、今回こそは受かりたいです。
1番の問いは、お陰さまで解決することができました。
2番については、
a[n]=c[k]/(k+1)=(2^k)/(k+1)とし、a[n]の漸化式を立てて解いたのですが、『(答え)1/(n+1)』にはなりませんでした。
申し訳ありませんが、もう少しヒントを頂けると幸いです。
3番については、log(1+x)をx=0でテイラー展開し、
x≪1のとき、log(1+x)≒x
というのを用い、
lim[n→∞]a_n=Σ[k=1→n]k/(n^2)
となりますが、『(答え)1/2』にはならず、0になるような気がするんです。こちらもアドバイスいただければ嬉しいです。
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