XY平面座標から△ABCの面積を求める

こんにちは。高校数IIの公式集の中での公式です

＜公式＞原点O(0,0)、A(x1,y1)、B(x2,y2)によって作られる△OABの面積は
　　S=1/2｜x1y2-x2y1｜　（←｜｜は絶対値記号です）

この解説については、S=1/2（OA）（OB）sinθ　より[θはOAとOBのなす角　OA=r1,OB=r2　OA、OBとｘ軸の正の方向とのなす角をα、βとして]、三角関数の加法定理を用いる式変形により証明されていました。

素朴な疑問ですが、この公式結果は見ただけでピンとくるものがないため丸暗記すべきなのか、それとも作図上で何か意味合いを示すことができるのでしょうか。詳しい方がいらっしゃれば別の説明をお願いします。

No.8 ベストアンサー 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/08/26 01:12

これ以上は、図に書き込めないで、言葉による説明しか出来ません。

画面は、最大画面にするか、フォントを変えるか、メモ帳にＣＯＰＹするかして、図がくずれないようにしてください。

やっとわかりました。私も高校生のとき、この公式見て、あまりのsimpleさに驚くと同時に、（覚える）というより、（忘れられない）公式となりました。また、図形的に説明はつくと感じていましたが、今日まで、（宿題）になっていました。ある意味で、何だこういう事だったのかと・・・。以下、説明を記述しますが、
わかった瞬間に、同じ思いをされるかと。

もし、判らなくても２、３日置いたら氷解されると思います。当然ながら、常にこの図になるわけではありません。ただ、感覚的には、他の図でも同じ様な話になるだろう、と思います。


　　　　　　　　　Ｂ
・・・・・・・・・・・・・ｙ２・・・・・・・・・・・・・・・・・・Ｏ’
・　　　　　　　・　　　　　・　　　　　　　　　　　・　
・　　　　　　・　　　　　　　　　　・　　　　　　　・
Ａ’　　　　・　　 Ｐ　　　　　　　　　　　　・　　ｙ１　Ａ
・　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　・　　　・
・　　　・　　　　　　　　　　　　　・　　　　　　　・
・　　・　　　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　・　
・　・　　　　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　・　
・・　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　
Ｏ・・・・・・・・・・ｘ２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ｘ１
　　　　　　　　　Ｂ’　

Ａ’Ｂ’Ｐの位置は、見たとおりで特に説明はしません。　　　　　　　　
＞＞原点O(0,0)、A(x1,y1)、B(x2,y2)、＞＞S=（1/2）｜x1y2-x2y1｜　

この図では、x1y2　は　長方形全体の面積です。
x2y1は長方形ＯＡ’ＰＢ’です。
x1y2-x2y1は、残りの三つの長方形和ととなります。
S=（1/2）｜x1y2-x2y1｜は、これらの長方形の半分。
S=△ＡＰＢ＋△Ａ’ＰＢ＋△ＡＰＢ’となります。

肝心の△ＯＡＢは三分割して、上記の三つ△に対応出来れば終了となります。
ポイントは、補助線ＯＰでした。　
ＯＰ、ＰＡ、 ＰＢ、で△ＯＡＢは三分割されます。
すぐにわかるのは、△ＡＰＢが対応していることです。
△ＰＯＡは頂点ＯをＢ’まで平行移動すれば、△ＡＰＢ’と重なり、　
△ＰＯＢは頂点ＯをＡ’まで平行移動すれば、△Ａ’ＰＢと重なって終了です。

説明を読むというより、ザーとスキャンして、ご自分で考えられた方が速いと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
視覚上で納得できました。
回答者様の努力には敬意を表します。

お礼日時：2007/08/26 09:46

No.9 回答者： chiezo2005 回答日時： 2007/08/26 02:21

#1です。

kkkk2222さん，えらい。
よくテキストでこの絵が書けましたね。

私はもう少し詳しく説明してほしいと言われて，うーん，絵がかけないよなぁ・・・と断念しておりました。

質問者さん，ぜひ２０ポイントはkkkk2222さんに上げてください。

で，この絵をお借りして説明すると（もちろんkkkk2222さんの説明でもあっていますが）もうちょっと簡単なのです。

△OABの面積は一番外側の長方形から
△O'ABと△OB(0,y2)と△OA（x1,0）を引いたものです。
それぞれの三角形の面積は
(x1-x2)(y2-y1)/2, x2y2/2,x1y1/2 なので，
もとの長方形の面積x1y2から上を引けば答えになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
納得できました。
皆様には感謝いたします。

お礼日時：2007/08/26 09:47

No.7 回答者： info22 回答日時： 2007/08/25 22:43

＞どうも3次元における平行四辺形の面積を求める公式らしいですが、高校で習う（大学受験で出題される）テーマなのでしょうか？

＞再度質問いたします。
円の面積の公式S=πr^２の公式は
小学校、中学校、高校のどの学年から教えられるかを考えて見てください。
円を見たり円の広さは産まれてからいつから見て、いつから身体で経験するのでしょうか？小学校や中学校では完全に円の面積は公式として学習するでしょう。円周率πの値も、学年の進行とともに、3→3.14→3.14159265…（無理数）と教えられる値が変わっていきます。円周率も丸暗記の対称ですね。なぜπが円の公式に入ってくるのか、円の面積を積分で計算する事を学習するまでは、丸暗記対象の公式ですね。
円の面積の積分ができるまで、円の面積が試験の対象にならないかといったらそうではないですね。数学は連続していて、学年が進行して計算式の導き方を学習する前に、公式として色々な式を教えられ、積分を知らなくても積分を使って導かれた公式を低学年から使っています。学年で勉強する範囲も学習指導要綱の改正で変化します。
大学以上では学習する上限が無くなり何でも扱われるようになります。ただ授業時間の都合で数学の全分野を全ての大学生が学ぶわけではないです。所属学部や大学院の専攻で数学の取り扱う分野が専門化します。
積分や三次元のベクトルを使った定義や計算から導かれた公式も丸暗記公式として高校以下で使われているものも少なくありません。

つまりベクトル積を使えば簡単に導ける公式を
ベクトル積の定義を使わなくても三角形の面積は導けますので、
三角形の面積は高校で扱われるテーマでしょう。
その公式を導く方法は複数の方法があるでしょう。
ベクトル積からしか導けない面積なら、公式としての丸暗記対象になるか、取り扱いの対象からはずされるでしょう。
でも三角形の頂点座標か３つとも分かれば、中学生でも面積を求めるし、高校入試の受験問題の対象になるでしょう。ベクトルという言葉を中学で習わなかったら、三角形の面積公式が小学校、中学校で学習しないという理屈は通りません。
ベクトル積を習わなくても、ベクトルと三角形の面積は受験で扱うテーマになるでしょう。でも公式の中の定数変数がどんな計算式となって入っているかを直感的に理解することは難しいでしょう。それを直感的に理解できるようにする考え方がベクトル積ですね。
ベクトル積は知らなくても平行四辺形や三角形の面積は計算できますので、面積公式は高校で習う範囲でしょう。
ただベクトル積を知っていると簡単に公式が導けますし、丸暗記しなくても済む、と言うことです。
２次元のベクトル積は
単位ベクトルを省略して
a×b=|a| |b| sinθ
として扱われることがあります。
a、bが紙面上のベクトルなら、紙面と垂直方向の単位ベクトルnは扱う意味が無いので大きさだけが内積と対応させて扱われ、あくまで２次元で処理しています。内積はスカラー量で、外積は本来はベクトル量ですが、２次元だけを扱う場合はnを省略したスカラー量として定義している場合もあります。
大学以降の数学では三次元空間を扱い、ベクトルも三次元で扱いますので、ベクトル積は三次元では
a×b=(x1,y1,0)×(x2,y2,0)=(0,0,x1y2-x2y1)
となり、a,bがx-y平面のベクトルならベクトル積はz方向成分だけのベクトルになります。

高校の教科書にベクトル積が載っていないなら、三角形や平行四辺形の面積公式は丸暗記対象の公式として覚えるか、その公式をベクトル積を使わないで、導くことは高校での範囲になるでしょう。三角形の頂点座標か分かれば中学生（小学生高学年）でも計算できます。辺の間の角度が分かればsinθを使って面積が出せますので高校生の数学の範囲になります。
でも公式の意味はベクトル積や三次元の数学を学習しないと理解が難しいです。丸暗記できない公式もベクトル積を知っていれば丸暗記でなく簡単に導ける公式になります。
そういった意味で、計算間違いや検算に強力な手段になる意味で覚えておくと役立ちます。丸暗記公式として覚えるか、理解して導ける公式かの差になります。
便利な概念を先取りして使うか、習っていないから複雑な計算をして丸暗記公式を導く計算をいつもするかですね。
どこまで勉強するかは本人の自由です。本来数学には境が無く連続しています。時の学習指導要領で定められた範囲でなくても覚えられるなら、検算や計算ミスをすぐチェックできるとき、受験に役立つでしょうね。

この回答へのお礼

　ありがとうございます。
　公式集に載っていたので、その考え方が気になったので質問しました。
回答者さんのおしゃるとおり、視点を変えれば高校で習う範囲で回答できるわけですね。気が付きませんでした。（←反省しています）
ご丁寧な回答をいただき、ありがとうございました。
　皆様には感謝いたします。

お礼日時：2007/08/25 23:02

No.6 回答者： d-l_-b 回答日時： 2007/08/25 21:46

ベクトルの外積は今の高校生は、教科書から消されています。

しかし、知っていると助かるときもあります。
例えば、平面(２本のベクトル)に垂直なベクトルを出したいときは、外積を使えば一撃で出ます。他の用途は面積や（外積＝０）が平行を表すくらいです。過去のセンター試験で、空間２直線の最短距離を求める問題もあった記憶があります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今後の参考にします。

お礼日時：2007/08/25 23:03

No.5 回答者： info22 回答日時： 2007/08/25 19:49

＃４です。

ベクトル積には
＞a(ベクトル)×b(ベクトル)=|a(ベクトル)| |b(ベクトル)| cosθ
a(ベクトル)×b(ベクトル)と書くと外積になります。
外積ではsinθが絶対値積の後につきます。

a(ベクトル)・b(ベクトル)と書くと内積になります。
内積ではcosθが絶対値積の後につきます。

ベクトル積は「×」、内積は「・」で書きます。
もう少し参考書を調べて見てください。

内積と外積があります。
参考URLをご覧下さい。
２次元、３次元空間で定義されています。
２次元の場合
内積：A・B=|A|*|B|cosθ=x1x2+y1y2
外積：A×B=|A|*|B|(sinθ)*n=(x1y2-x2y1)n
（外積の絶対値は平行四辺形の面積）
(nはAをBに重ねるように回転させた時に右ねじが進む方向の単位ベクトルで|n|=1です。)

参考URL：http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula …

この回答への補足

ありがとうございます。
ベクトルの外積について高校数学の参考書を探しましたが見当たりません。どうも3次元における平行四辺形の面積を求める公式らしいですが、高校で習う（大学受験で出題される）テーマなのでしょうか？
再度質問いたします。

補足日時：2007/08/25 20:58

No.4 回答者： info22 回答日時： 2007/08/25 18:10

S=1/2｜x1y2-x2y1｜

図上の意味は２つのベクトルのベクトル積の絶対値が
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積を表しますから
三角形の面積はその(1/2)ということだけです。
a,bを２つのベクトルとすると
ベクトル積
a×b=|a| |b| sinθ
|(a×b)|=|a| |b| |sinθ|
は並行四辺形の面積です。
a=(→OA)=(x1,y1)
b=(→OB)=(x2,y2)
を当てはめれば
|(a×b)|=|(x1,y1)×(x2,y2)|=|x1y2-x2y1|
ですから
ΔOAB=(1/2)|(a×b)|=(1/2)|x1y2-x2y1|

図的には
ベクトル積(→OA)×(→OB)の絶対値が
ベクトル(→OA)と(→OB)が作る平行四辺形の面積
だと言うことを覚えておけば
△OABの面積はその(1/2)
になることを理解しておいてください。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

さっそく数学Bの参考書を調べたところ、ベクトルの内積として
　　a(ベクトル)×b(ベクトル)=|a(ベクトル)| |b(ベクトル)| cosθ
また、内積の成分表示として
　　a(ベクトル)×b(ベクトル)=a1b1+a2b2
と表示してありました。

回答文中の
＞a×b=|a| |b| sinθ
＞|(a×b)|=|(x1,y1)×(x2,y2)|=|x1y2-x2y1|
とは表示が違っていましたが、どのように関連させればよいのでしょうか？質問いたします。

補足日時：2007/08/25 18:59

No.3 回答者： masa2211 回答日時： 2007/08/25 17:03

個人的には、覚える気は全く無いですね。

丸暗記は最小限にすべき。
三角形に限らず、多角形で座標（頂点を順番に。）が与えられた場合にも通用する
方法で面積計算できる方法があるので、どうせ覚えるならこちら。
（当然ながら、三角形に特化した方法より手間はかかるし、面積計算の実務でのやりかたなので高校数IIの範囲外。）
「測量」の教科書に、「倍横距」という名前で出ています。（他の方法もアリ。）
※インターネットでも説明は出ていますので、興味あるなら自力で調べてください。
なお、倍横距で正しい計算になるという証明は、別に面倒でもなんでもなく、
「端から順に、台形の面積（の2倍）を求め、足し合わせていけばよい。」
という、実にシンプルな方法です。
２倍なのは、２で割るのは最後の１回だけにしたいためなので、
筆算ならとにかく、コンピュータ計算なら意味ないのだけど。

参考URL：http://blog.livedoor.jp/zizidai_3373/archives/ca …

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2007/08/25 19:00

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2007/08/25 15:53

この公式は便利です。

従って、公式の導出過程と共に憶えていたほうがいいでしょう。
ついでに、1点が原点でない場合もこの公式から導かれます。
A(x1,y1)、B(x2,y2)、Ｃ(x3,y3)によって作られる△OABの面積は、原点をx軸にx3、y軸にy3だけ平行移動したと考えればいいだけですから、

△ＡＢＣの面積は、S=1/2｜(x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)｜として求められます。　

この回答への補足

なるほど、ありがとうございます。

ところで、基となる公式は、規則性があるために、なにか、作図上で簡単な説明方法がないか探しています。　よろしくお願いします。

補足日時：2007/08/25 16:08

No.1 回答者： chiezo2005 回答日時： 2007/08/25 15:24

作図上で意味がありますね。

たとえば絶対値の中身が正の場合で考えると
x1y2というのはA点を通りX軸に平行な線とB点を通りY軸に平行な線で囲まれる（（x1，y2）を頂点とする）長方形の面積になります。

一方x2y1のほうは（x2，y1）を頂点とする同様な長方形の面積です。
で，
この2つの長方形と
なかの三角形とよく比較してみると，意味があることがわかるでしょ。

まあ，公式として覚える必要はないです。
でも，これって三角関数をだして解く問題でもないと思いますが・・・
（中学生の問題だと思います。）

この回答への補足

回答ありがとうございます。

＞この2つの長方形と
＞なかの三角形とよく比較してみると，意味があることがわかるでしょう

どうやら、平面上の長方形の面積の1/2かな、という気はしましたが、いまひとつピンときません。
　もう少し詳しい説明がいただければありがたいです。

補足日時：2007/08/25 16:05