大学院レベル、極限の不思議な近づき方

π/4=1-1/3+1/5-1/7+・・・+(-1)^n/(2n-1)+・・・

ですが、右辺の５０万項までをコンピュータを使って求めると、

(1/4)*3.14159(0)6535897932(4)(0)4626433832(6)9502884197・・・

となり、( )を付けた部分がπの小数展開と違っている、と聞きました。
ガセではありません。本当です。
あるケタ以降が違っている、というのなら理解できますが、部分的に違っているというのが不思議です。

どうしてこのような不思議な近づき方をするのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2007/09/03 00:26

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1812107.html

この回答へのお礼

ありがとうございます。
http://mathworld.wolfram.com/GregorySeries.html
も参考に勉強してみます。

お礼日時：2007/09/03 00:43

No.4 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/09/03 08:06

jlglgさん、こんにちは。

50万項というと、n = 500 000 ということですよね。

ANo.1さんのように、プラスマイナスの二つずつをまとめて一般項を書き直すと、和 S(n) の次の項 a(n+1)は O(1/n^2) ですが、これは次の一つの項だけであり、誤差はその無限までの和になるので、

誤差 R(n) ～ S(∞) - S(n) ～ ∫_n^{∞} 1/x^2 dx ～ 1/n

と見積もれます。したがって、

1/n=1/500000=2×10^{-6} = 0.000 002

ぐらいの誤差があるということになり、これに係数もかかりますので、3.141 59 の次に誤差が出るのは、不思議ではないと思いますよ。

それで他のところが合っている理由ですが、小数の桁の上から順番に答えが一致していかないといけないともいえないのて、途中が合うのは不思議ではないかもしれません。何しろ50万項も計算しているのですから。

No.3 回答者： Matix 回答日時： 2007/09/03 01:16

計算誤差が重なって、偶然にも同じ桁がたくさん出たということでは。

計算する項数を変えたり、計算する進法を変えたり、コンピュータ内の数値表現を変えれば、違う結果が出るかもしれません。

コンピュータで正確な計算をするのは難しいです。
少なくても、10進数表記で正確に計算するなど不可能です。
これはp進数表記でも同様です。

例えば、1/3 = 0.33・・・と3がずっと続きますが、コンピュータでは無限に続けることはできないので、どこかで打ち切らないといけません。3が100個で終わり、とか。これで誤差が発生します。

また、値の近い数字を足して引いてしまうと、桁落ちを起こしてしまいます。つまり、有効数字がさらに減ってしまう可能性があるということです。

偶然が重なった、ということですかね。
もし、この現象がほかの場合にも出た場合には、特別な理由とかあるかもしれませんが。

ちなみに、最後の項から(小さい数の方から)計算を実行してみましたか？
足して引く計算をやった後に和の計算とかやってみましたか？
場合によっては、計算結果が変わってしまいますよ。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/09/02 23:38

ちょろっと考えると

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …
　　= 2/(1*3) + 2/(5*7) + … + 2/((2n-1)*(2n+1)) + …

んで、2/((2n-1)*(2n+1)) は n^(-2) のオーダで減少するから端数はどんどん小さくなるはずですが。

本当に 50万項までを「正確に」計算できていますか？

この回答へのお礼

ガセではありません。本当です。
大学院レベルのご回答をお待ちしていります。

お礼日時：2007/09/02 23:46