二項分布の平均値

Question

二項分布の平均値と分散を出す問題で、
平均値＝　Σk=1,n  nCk・p^k・(1-p)^n-k  =  np  という式がありますが、

左辺をどう整理したら右辺になるのでしょうか。

左辺＝　(1-p)^n + np(1-p)^n-1 + n(n-1)/2・p^2(1-p)^n-2 +
     ・・・ + n(n+1)/2・p^n-2(1-p)^2 + np^n-1 (1-p) + p^n

とした時の2つ目の項の　np以外は消えるということだと思うのですが、消える根拠が分かりません。　よろしくお願いします。

（数式　見にくくてすみません）

nettiw · Accepted Answer

確率変数Ｘの平均値（期待値）E(X)は、
X=1,2,・・・,n
P=P1,P2,・・・,Pn

E(X)=Σ[k=1,n]k*Pk

標準偏差σ(X)
分散{σ(X)}^2 
{σ(X)}^2 =Σ[k=1,n]Pk*(k-E(X))^2


二項分布に従う時は、
Pk=nCk*q^(n-k)*p^k
p+q=1
(q+pt)^n=Σ[k=0,n]nCk*q^(n-k)*p^k*t^k
(q+pt)^n=Σ[k=0,n]Pk*t^k
両辺をtで微分して、
np*(q+pt)^(n-1)=Σ[k=1,n]k*Pk*t^(k-1)・・・（１）
t=1　とおいて、p+q=1
np=Σ[k=1,n]k*Pk

E(X)=Σ[k=1,n]k*Pk=Σ[k=0,n]k*Pk=np

分散は、
（１）を再度、微分して、
n(n-1)*p^2*(q+pt)^(n-2)=Σ[k=2,n]k(k-1)*Pk*t^(k-2)
t=1　とおいて、p+q=1
n(n-1)*p^2=Σ[k=2,n]k(k-1)*Pk=Σ[k=0,n]k(k-1)*Pk

これを変形して、
n(n-1)*p^2=Σ[k=0,n]k^2*Pk-Σ[k=0,n]k*Pk
　　　　　　　=Σ[k=0,n]k^2*Pk - np
Σ[k=0,n]k^2*Pk={n(n-1)*p^2 + np} 

{σ(X)}^2 
=Σ[k=0,n]Pk*(k-E(X))^2
=Σ[k=0,n]Pk*(k-np)^2
=Σ[k=0,n]Pk*k^2 -2npΣ[k=0,n]Pk*k+(n^2)(p^2)Σ[k=0,n]Pk
={n(n-1)*p^2 + np} -2np*np + (n^2)(p^2)*1
=(n^2)(p^2)-n(p^2)+np-2(n^2)(p^2)+(n^2)(p^2)
=-n(p^2)+np
=np(1-p)
=npq

kumipapa · Answer

#5です。
φ(t)＝(pt+q)^n とおいて、φ'(1)が平均値を与える方法について補足します。

φ(t)＝(pt+q)^ｎ とおいたのは、二項分布の確率母関数がφ(t)＝(pt+q)^ｎであり、確率母関数φ(t)に対してφ'(1)が平均を与えるということから、皆さんがそのような計算をされています。二項分布以外でも、例えばポアソン分布にはポアソン分布の確率母関数が計算できます。
非負整数値をとる離散分布の確率母関数は、
φ(t) ＝P(0)+tP(1)+t^2P(2)+・・・+t^kP(k)+・・・
　　＝　Σt^kP(k) (k=0,∞)
で定義されます。この式を１階微分すれば
φ'(t) ＝ 1・P(1) + 2tP(2)+ 3t^2P(3)+・・・+kt^(k-1)P(k)+・・・
    ＝　Σkt^(k-1)P(k)  (k=1,∞)
ですから
φ'(1) ＝ 1・P(1) + 2p(2)+3p(3)+・・・+ kP(k)+・・・＝平均値
となります。
ここで二項分布について確率母関数を求めると、P(k)＝nCk・p^k・q^(n-k)　（0≦k≦n, q=1-p)として、
φ(t)＝Σt^kP(k) （k=0,∞)
＝Σ{nCk・(pt)^k・q^(n-k)} (k=0,n  ∵P(k)=0 if k＞n ）
＝（pt+q)^n
となります。これが「(pt+q)^nを１階微分してt=1を入れると平均値」の由縁です。

他の例として、ポアソン分布については、
φ(t) ＝Σ t^k P(k) (k=0,∞)
＝exp(-λ)Σ{(λt)^k/k!}  (k=0,∞)
＝exp(λ(t-1))
です。
φ'(t) ＝　λ exp(λ(t-1))
ですから、
ポアソン分布の平均値　＝　φ'(1) ＝ λ
です。
なお、確率母関数を２階微分すると、
φ''(t) ＝ 2(2-1)P(2)+3(3-1)tP(3)+4(4-1)t^2P(4)+・・・+k(k-1)t^(k-2)P(k)+・・・
φ''(1) ＝　1P(1)+2^2P(2)+3^2P(3)+・・・・+k^2P(k)+・・・
　　　　　－ (1P(1)+2P(2)+3P(3)+・・・・kP(k)+・・・）
　　　　＝（２乗平均）－（平均）
となります。
分散＝（２乗平均）－（平均）^2　より、
分散 ＝ φ''(1)＋φ'(1)－（φ'(1))^2
となります。
二項分布やポアソン分布であれば、平均や分散を計算するのは大した問題ではないので確率母関数を持ち出すまでもありませんが、複数の系が足されたり掛算されるような複雑なシステムになると意外に便利に使えたりしますので、機会があれば覚えておいて損はないでしょう。

kumipapa · Answer

皆さんご指摘の通り、まず、平均値E(X)は、
E(X) ＝　Σ kＰ(k)
ですから、（誤植かも知れませんが）「平均値＝　Σk=1,n nCk・p^k・(1-p)^n-k 」はちょいと違いますね。

で、平均値を求めるにあたり、皆さんの回答のように ｐ＋ｑ＝１, f(t)＝(pt + q)^n とおいて、ｆ'(1)を求めるもよし。
また、力づくで、
E(X) ＝ Σ k・P(k) 
＝　Σｋ・nＣk・ｐ^k・ｑ^(n-k)
＝ｎｐ Σ (n-1)Ｃ(k-1)・ｐ^(k-1)・ｑ^(n-k)
＝ｎｐ(ｐ＋ｑ)^(n-1)
＝ｎｐ
また、分散を求める際には
E(X^2) ＝ Σｋ^2・P(k)
＝　Σ(ｋ^2・ｎ!/((ｎ－ｋ)!・ｋ!))ｐ^k・ｑ^(n-k)
＝　ｎｐΣ ｋ・(n-1)Ｃ(k-1)・ｐ^(k-1)・ｑ^(n-k)
＝　ｎｐΣ{ (ｋ－１)・(n-1)Ｃ(k-1)・ｐ^(k-1)・ｑ^(n-k) ＋ (n-1)Ｃ(k-1)・ｐ^(k-1)・ｑ^(n-k) }
＝　ｎ(ｎ－１)ｐ^2・(ｐ＋ｑ)^(n-2)＋ｎｐ・(ｐ＋ｑ)^(n-1)
＝　ｎ(ｎ－１)ｐ^2＋ｎｐ
より、
分散V(X) ＝　E((X-E(X))^2) ＝ E(X^2) － (E(X))^2 ＝ ｎ(ｎ－１)ｐ^2 + ｎｐ － ｎ^2 ｐ^2 ＝ ｎｐ(１－ｐ)

です。

 f(t)＝(pt + q)^n とおいて、ｆ'(t),ｆ''(t)から求める方が知っていれば簡単ですね。

snow16 · Answer

すみません、No.1です。補足です。
右辺のk=0に対応するq^nの項をpで微分したら、なくなってしまい、p^(-1)・q^nの次数の項は存在しないのですが、微分した結果、k=0が係数として乗じられるために矛盾がなく、形式的に残してあります。

zk43 · Answer

二項展開の式(x+y)^n=ΣnCk・x^k・y^(n-k)を利用します。
両辺をxで微分すると、
n(x+y)^(n-1)=Σk・nCk・x^(k-1)・y^(n-k)
両辺にxを掛けると、
nx(x+y)^(n-1)=Σk・nCk・x^k・y^(n-k)
ここで、x=p、y-1-pとすると右辺が平均の式になり、左辺はnpになる。
さらに両辺をxで微分してxを掛けてx=p、y-1-pとすると二乗の平均の
式になるので、分散も計算できる。

snow16 · Answer

平均値＝Σk=0,n k・nCk・p^k・(1-p)^n-k = np じゃないかな？
今これを解くとしたら、（学校で習った解き方はすっかり忘れてしまったもので…）

(p+q)^n＝Σk=0,n nCk・p^k・q^n-k
はよろしいでしょうか？
両辺をpで微分すると、
n・(p+q)^(n-1)＝Σk=0,n k・nCk・p^k-1・q^n-k
今度は両辺にpを乗じる。すると、
n・p・(p+q)^(n-1)＝Σk=0,n k・nCk・p^k・q^n-k
ここでq=1-pとおけば、
n・p＝Σk=0,n k・nCk・p^k・(1-p)^n-k
が得られます。

二項分布の平均値

#5です。

皆さんご指摘の通り、まず、平均値E(X)は、

確率変数Ｘの平均値（期待値）E(X)は、

すみません、No.1です。

二項展開の式(x+y)^n=ΣnCk・x^k・y^(n-k)を利用します。

この回答への補足

平均値＝Σk=0,n k・nCk・p^k・(1-p)^n-k = np じゃないかな？

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